CHAPITRE VU. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.NGE

compose de r — i équations et sa classe est r -|- i ; S* se compose de r — 2 équations et sa classe est r, . . .; S(''— ^) se compose d'une seule équation de classe 3, et le r'^me dérivé SW est nul ainsi que tous les suivants. Il peut aussi arriver que, pour les premiers systèmes dérivés, tout se passe comme dans le premiçr cas, mais qu'à partir du système S<''-/') tous les systèmes dérivés successifs soient identiques à S^''~P). Le premier cas peut d'ailleurs être considéré comme un cas particulier du second, que l'on obtiendrait en supposant/)=o.

Nous allons démontrer que tous les systèmes spéciaux de r équations à r -{- 2 variables, pour lesquels le nombre p a la même valeur, peuvent être ramenés à une même forme canonique .

La propriété a été déjà établie plus haut lorsque p ^= r — i ; le système S' est alors complètement intégrable, et nous avons vu que, par un choix convenable des variables indépendantes, on peut écrire le système S

(22) dij^ = 0, . . . , dijr-s. = o, dyr-ri = yr+^di/r.

Supposons donc o <^ p <^ r — i. Le système S^'"—/') se compose alors de p équations distinctes formant un système complètement intég-rable si /> ]> o, et ce système est nul si p = o. Les raisonnements qui vont suivre s'appliquant à ce dernier cas, nous supposerons o<ip<ir — I-

Le système S' est de classe r -|- i, S" est de classe r..., g(r/)-i) est de classe /> + 3, et enfin le système S^''—P), qui est complètement intégrable est de classe p. Appliquons à ce svstème S''"-/*— •) de /) -|- I équations et de classe /) + 3 la proposition établie plus haut sur les systèmes S dont le système dérivé S' est complètement intéa:rable. On peut, par un chang-ement de variables convenable, mettre ce système S""-/*-^) sous la forme

(23) dy, = o, ...,dy^ = o, dy^^, = y^^.dy^^^;

cette réduction exige d'abord Vintégration du système S(''-P>, c est-à-dire Vintégration d'un système complètement intégrable d'ordre p, puis la réduction d'une équation de Pfaff de classe trois à une forme canonique.

Ces opérations étant supposées effectuées, si Ton prend pour

variables nouvelles les /3 + 3 fonctions //^, . . . , y^^^ et r — p — i des anciennes variables Xj,-]-.\, ...,Xr^% par exemple, l^quation qu'il faut joindre au système (28) pour avoir le système précédent g(r— /7-2) peut être supposée mise sous la forme

«p+2 = Hrfi/p+i + Kf/^p+3 + S^i = o,

Q^ étant une forme qui ne renferme que les différentielles dxi, et l'équation

doit être une conséquence des deux relations ^p^J^d) = o,

Ceci exig-e évidemment qu'aucun des coefficients H, K ne soit nul. On peut alors supposer K = — i, et l'on doit avoir identiquement

dy^+i [H<yy^+, + Q, (^)] - §y^^, [^dy^^, + Çl,{d)] = o, ce qui exig-e que la forme iîj soit nulle, et l'équation w^^2=o se réduit à ûf^^^g = Hofi/p^i . Le coefficient H ne peut dépendre seulement de ^1, y^, . . . , ^jp+3, car le système ^'J'—p—^) serait alors complètement intégrable. On peut donc prendre ce coefficient H pour une des nouvelles variables y^^^i et le système S(''-/'-2) est ainsi ramené à la forme (^4) dy^ = o, ..., dy^ = o,

dyp+2 = yp+3dyp+i, dy^^^ = yp+^dy^^^.

On peut répéter le même raisonnement pour trouver la nouvelle équation w^^gz^o qui, jointe aux équations (24), forme le système S*'"— /'-3)^ et ainsi de suite. En continuant de la sorte, on voit que tout système spécial S de r équations à r -\- 2 variables peut être mis sous la forme canonique (^)

(25) dyi = o, ...,dyp = o,

dyp+2= yp+sdyp^i, . . . , dyr+i = yr+2dyp+i.

Les seuls invariants d'un système spécial S, relativement à un chang-ement de variables, sont donc l'ordre r de ce système, et le nombre p des combinaisons intégrables distinctes des équations de ce système.

(•) E. VON Weber, BerichteGes. Leipzig, l. L {i8g8),. p. 207-229