CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES

7. Les systèmes Sj etS^. — On obtient deux nouveaux systèmes différentiels associés à une forme de PfafiF en procédant comme il suit. Pour qu'un élément linéaire {dx^, dx,, ..., dx,^) soit en involution avec tous les éléments linéaires intégraux issus du même point, il faut et il suffit que l'équation

w' = — ^ (aiidxi + Oiidxi -\- ... 4- aindXn)^Xi = o 1=1

soit une conséquence de l'équation

n <0 (8) = ^ XiùXi = O, /=1

c'est-à-dire que</jj, dx^, ..., dxn vérifient les relations

Ws'

aijdXi -^ . . . -^ aind-T,,

^ Xi

...=df.

t étant une variable auxiliaire, introduite uniquement pour faciliter le raisonnement.

(le nouveau système Sj qui est évidemment, d'après sa sisrntfication, un covariant de la forme ta, est identique au système de Pfaffà.è\k sisrnalé plus haut (u^ 2).

Enfin les éléments linéaires intégraux en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux issus du même point vérifient un nouveau svslème d'équations S^, que l'on obtient en adjoiî>-nant à S3 l'équation w ^ o ; c'est le système caractéristique. C'est aussi un système covariant de la forme w.

Les quatre systèmes S^, S^, S,, S^ se réduisent toujours à deux systèmes distincts seulement.

Ecrivons le système S3, en chassant les dénominateurs,

(S3) GiidXi + . . . -|- UindXn = ^idt, 1 /= 1 , 2, ...,«) ;

deux hypothèses sont à examiner :

/^' Cas. — On peut satisfaire aux équations précédentes, san» G. Leçons. /' 3

supposer dt = o. En d'autres termes, on peut trouver au moins un système de solutions des équations

«iAi + «/2^2 4- . . . + aiii^n = ^i {i = 1,2, . . ., n). On en déduit

2^ Xidxi = 2^ {aii\ + an\ + . . . + ain^n)dxi

= — ^^1 2 ttiidXi — ^2 ^ a^dXi — ... — In^UnidXi, i i ■ i

de sorte que, dans ce cas, l'équation a) = o est une conséquence des équations du système S^. Réciproquement, si l'on a une identité de la forme

2^ XidXi = 2^ li.h(ahidx^ + . . . + GkndXn), i k

on en déduit

X; = p-ifli/ + . . . + \i.nani,

et l'on satisfait aux équations de Sg en posant f^^ = — [x^.

Supposons donc que w soit de classe 2/3 ; alors S, est identique à S^, et S^ est identique à Sg. Des équations de S.,,

on tire en effet

2é dt 2^'''^^ir] = 2^^^^'

dt I .^ '" dt )~ '^ ' dt ou

Mais le premier membre de cette équation est identiquement nul, d'après les relations aiu -\- aui = o. L'équation w = o est donc une conséquence des équations de Sg.

2^ Cas. — Si w = o n'est pas une conséquence du système Sj,on ne peut satisfaire aux équations Sg qu'en posant dt =^ o; Sg est identique à S^, et S^ à S^.