CHAPITRE VII. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MUNGE

Tout système de deux équations à quatre variables, n'admettant aucune combinaison intégrable, est, comme on l'a vu directement (n" 75), un système spécial pour lequel p z= o.

Exemple. — Considérons un système de r équations de la forme

«1 = dœi + /t{'3;r-r-2)d^r-f-i = O, W2 = rf>r« -f- /î{Xr+i)dXr-\-i ^ O,

wr :=idXr -r-/r(Xr+-2)rfj:*r-f 1 = O,

les coefficients de dxr—i ne dépendant que de la dernière variable ojr-fî. Ecartons le cas banal où tous ces coefficients seraient constants ; nous pouvons supposer, par exemple, que y,(,rr^-2) n'est pas constant, et nous ne diminuons pas la généralité en supposant y,(a;r-f--2) = Xr+î Le système dérivé S' est formé des r— i équations

Hi = rai — ^ •^' «, = dxi— ^ •^^ djCi + (fi — Jr-h-î ., \dxr-r\ = «

Si Ton pose

Xi = Xi + Xr+vfi, Xr-rl = J?i "T Jr+iJ?r+2,

l'équation il/ =r o peut s'écrire

Xr-\

Le système S' est donc un système de même forme que S, à (r + i) variables X», . ., Xr-f-i, a;r+2. Pour la même raison, si S' n'est pas complètement intésrrable, S' sera un système de même forme à /■ variables, et ainsi de suite. Le système S est donc un système spécial.

78. Systèmes intégrables explicitement. — Un système S de r équalion^ à r — 2 variables, non complètement intégrable, ne peut admettre d'intéarrales à deux dimensions M^ passant par un point quelconque de l'espace. On a vu (Leçons, p. 27) comment on peut déterminer de telles intégrales s'il en existe; nous n'y reviendrons pas.

Les intésrrales Mj du système dépendent d'une fonction arbi-traire d'une variable; en effet, supposons les équations de S réso-

lues par rapport à dx^^dx^, ...,dxr par exemple. Si Ton se donne a?r+2 = 9(iCr-fi), on est conduit à un système de r équations différentielles ordinaires pour déterminer x^^^x^, . . .,a?r en fonction de Xr-\-\.

Remarquons encore que l'on peut, sans diminuer la généralité, supposer que dxr-\~2 ne fig-ure pas dans les équations de S. Il suffit de choisir les variables xi de façon que les équations x^ = C^, . . . , Xr+i = Gr-fi représentent une famille de courbes intég-rales, ce qui, comme on l'a déjà remarqué à plusieurs reprises, est possible d'une infinité de manières. Les équations étant résolues par rapport à dxy, ..., dxr, l'un au moins des coefficients de dxr-{-i dépend de Xr-]-2, et en prenant ce coefficient pour la variable Xr-\-^ ellemôme, le système S prend la forme

(26) dx^ = Xr-^idXr4-\ , dx^ = k^dXr-\-\, • . . , dx,- = krdXr-\-\ .

Nous dirons que le système S est intégrable explicitement lorsque toutes les intég-rales Mj^ peuvent être représentées par un ou plusieurs systèmes de formules exprimant les variables xi par des fonctions déterminées d'un paramètre, d' une fonction arbitraire de ce paramètre et de ses dérivées jusquà celle d'un certain ordre, pouvant contenir aussi un nombre fini de constantes arbitraires

Dans ces formules, 9^, cp,, ..., '^r^-'i désig-nent des fonctions déterminées de leurs ariguments, Cj, Gj, . . . , G^ sont des constantes arbitraires, a est un paramètre variable et /'(a) une fonction arbitraire de ce paramètre.

Il est évident que les systèmes spéciaux définis au parag-raphe précédent sont intég-rables explicitement. On peut alors, en effet, par un chang'ement de variables

(28) Xi = Çi{l/i, IJ^, ...,yr+^), (/= 1,2, ...,/' 4- 2)

ramener un système spécial S à la forme canonique (26) pour laquelle la propriété est évidente. Si //^^i ne se réduit pas à une constante pour une intégrale Mj du système (2.5), on peut poser