CHAPITRE VII. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROHLÈME DE MONGE

y^^^ = X, y^^i =/(%), et on en déduit successivement ^fp^^=/'{x)^ ..., yr4-2=/^'^7a)- On 'a donc une famille d'intéarrales M^ dépendant de la fonction arbitraire y*(a) et de p constantes arbitraires,

(29) ^1=^' •••'yp=C|.' yp+i = ^' yp+2=fi^)>

il existe une autre famille de multiplicités intég-ralesMi dépendant de r + I constantes arbiti^ires,

(3o) //i = Ci yp = Cp, yp^i = Cp+u ...,yr-{-i = Cr+i.

En remplaçant y y, . . ..yr^=i par les valeurs (29) dans les formules (28), on obtient bien une intégrale g-énérale explicite pour S.

Inversement, les systèmes spéciaux sont les seuls qui admettent une intégrale générale explicite de la forme (27). Il suffit de prouver qu'un svstème normal, ou tout système obtenu par le prolongement d'an système normal, ne peut admettre une intégrale g-énérale explicite de cette forme (^). On peut même se borner à démontrer cette propriété pour un système normal, car si un système S obtenu par le prolono:ement d'un système normal admet une intégrale générale de cette forme, il est évident qu'il en sera de même du système normal dont S est le prolongement.

Remarquons encore que les r -{- 2 fonctions ç;/ des formules (27) doivent être distinctes ; dans le cas contraire, on en déduirait, en effet, une relation au moins entre les variables Xi, et les formules (27) ne pourraient représenter une intégrale passant par un •point quelconque de l'espace. On a donc forcément p + g^f- Sip -{- q = r, on voit immédiatement que le système S est un système spécial, et dans ce cas les formules (28) définissent un changement, de variables qui conduit du système S à un système admettant l'intégrale générale

c'est-à-dire au système canonique (25).

(•) Ce beau résultat est dû à M. Cartan, dont nous avons reproduit la démonstration {Balleitn de la Société Mathématique, t. XLII, igi^^ p- i^-iS).

Il ne reste qu'à examiner le cas où l'on a/) -f 7= fn^r, cas que nous ne pouvons écarter a priori. Nous supposerons que la dérivée />/)(a) fig-ure dans l'une au moins des fonctions 9; ; autrement on remplacerait q par un nombre inférieur. Si, dans les premiers membres w^, w,, . . . , w^ des équations de S, on fait la substitution

(3i) Xi = ^i{Uvf/v -'-^yp^yp+i^-'-^ym+o)^ m^^^p-^-q,

la forme w/ se chang-e en une forme linéaire par rapport à di/i,di/2, . . . , dy,^^^, que l'on peut écrire

(82) a)/=a,:iiij + a,-^ii, + ... + aim£i.m + di^m+idi/p+i + ai,m+'>dym+%, en posant

(33) iii =dyi,--, iîp = dy^,

^p + i^^^^yp+2 //p+S^^p+l' • • •' ^m^^^dy^^^^ ym+^dyp+i-

Par hypothèse, les formules (3i) définissent une intégrale du système (S) quand on y remplace //i, y^, ..., //,„+2 P^^' ^^ système d'intég-rales du système auxiliaire S

(X) n, =0, ..., fij, = o, iip+i= o, ..., fî,^ = o.

Il faut donc que l'on ait «/, ^-)i = o, a,-,»)+2 = o> tH par suite on a des identités de la forme

Wj = «21^1 + «22^2 4- ... 4- a^milm, 0V= «rlili + arî^a 4- • • • 4- «rwiim,

quand on fait dans les formes w^, w.j, . . . , dv la substitution (3i). Les coefficients aim, ci^m-, ■ ■ ■ , firm ne peuvent être nuls à laT^ois.En effet, si tous ces coefficients étaient nuls en même temps, à toute, solution du système (X')

(2') ili=o, ..., ii^i = o,

les formules (3i) feraient correspondre une intégrale de S, quand on y remplacerait y^^^^ par une constante quelconque, et on serait ramené à des formules analog'ues pour représenter l'intégrale