CHAPITRE Ml. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MOXGE
g-éuérale de S, où le nombre des constantes serait aug^menté d'une unité et où q serait diminué d'une unité (^j.
On peut toujours supposer que le système S' dérivé de S est formé des r — i équations
On a alors
w'i ^ O, w', ^ O, . . . , 'lir—i ^ O (mod, Mj, wj. ... Wr)»
et a fortiori
w'j = 0, «'2 = 0,..., w'r— 1 = O (mod. Qj, Qj, . . ., Q„,), Mais w'i se réduit à at^û'/n = a\m {^yp+idi/m+i — ^Um+i^Up+i)'
en tenant compte des équations Qj = o, ...,Q^=o, et ne peut être nul que si l'on a a\m=^ o. On verrait de même que l'on a a-2m = o, ....a,— 1,/« = o, mais arm ne peut être nul, puisque û^ doit fissurer dans les identités (34).
Le système S étant supposé écrit comme plus haut, on a, d'après la formule (19),
(35') b)'i = Li [wr, dœr^\] + M,- [w^, ctrr+^l (mod. Wj , Wg, • . • , wr-i) i =2 i , 2 , . . . , r — I .
Après la substitution (3i), dxr+i et dxr~^<2 se changent en deux formes linéaires que l'on peut écrire
dxr^<i = c,Q, + ... + c„.Û„ + c^^idy^^i + c,„+.dy,,,^„
(t) On pourrait encore raisonner comme il suit. Si les seconds membres des formules (34) ne contenaient pas il^, les formules
Xi - 7/ (C,. C„ . . . , C^, «, /(«), , .,/(7-l)(«). S), où a et 8 sont deux paramètres variables, représenteraient une famille d'intégrales de S, à deux dimensions, et il passerait évidemment une de ces intégrales par un point arbitraire de l'espace, puisque les fonctions y/ sont des fonctions distinctes de leurs arguments. Le système S serait donc complètement intégrable.
Le même raisonnement prouve que les fonctions y/ renferment l'une au moins des dérivées dcy(a); car si elles ne renfermaient que «cty(a), les formules
•^i — ?i(C,. .... Cr, «, !3) représenteraient des intégrales à deux dimensions du système S dépendant de r constantes arbitraires.
et les relations (19) entraînent les nouvelles relations (3G) w'i= L/ [arm^„„ b^,,^,dy^^, + b^^^dy„^^^]
(mod. il,, i2„...,.Q J, ou, en développant^
(mod. Qi, ..., i2,„J.
D'un autre côté, on a immédiatement, d'après les relations (34)
w'i =s m^m-i^'m-i = (li, m-\ [dljni-\,\,dljpj^\\, (mod. il^. ...,Q.^^\ .
La comparaison de ces deux expressions de 0/, montre que l'on doit avoir
Ub„,^2 4- M/c,„+2 =0, (/ = I, 2, . . . , /• — i).
Si les deux coefficients b.-^^oi c,;j+2 ne sont pas nuls à la fois, le rapport rj-est indépendant de /, et par suite (n» 77), le système S"
dérivé de S' contient r — 2 équations au moins. Le système S nest donc pas un système normal.
On ne peut supposer que les coefficients 6,.^+,' '^'lu+î sont nuls à la fois, car les expressions de dxr+i, dxr-\-'î tirées des formules de transform.ations (3i) ne contiendraient pas dy^j^. Il en serait donc de même de dx^., ... , dxr d'après les équations du système S et les identités (34), et par suite les fonctions 9/ ne dépendraient pas de la dérivée /''/(a).
79. Remarques diverses. — 1° Soit S un système de PfafF à un nombre quelconque de variables, ne renfermant aucune équation de classe un. Si ce système contient un système spécial (r de p équations {/) > i), il est évident que le système dérivé S' contiendra le système spécial (7' dérivé de rj. Inversement, si le système dérivé S' contient un système spécial a' de </ équations (y>o), S contient un système spécial a de y-|-i équations, dont n' est le système dérivé. Dans cet énoncé, une équation de classe trois est regardée comme formant un
