CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.NGE

système spécial. Supposons que q équations de S' puissent être mises sous la forme

(ff*) dy^ — y^diji , </y, =r y^dy^ , ..., dyq~i = yq^^yi,

yi> y*» ..•> yy-i-2 étant des variables indépendantes; la relation dyq-\-iSyi — dyi3yq-i-2 = o doit être une conséquence des équations de S qu'il faut joindre aux équations du système ^ pour avoir S. L'une au moins de ces relations doit contenir dyq-\-^, et Ton peut supposer que dyqj^^ n'entre que dans l'une d'elles, qui sera de la forme

dijq+'î = Arfyi + fl,

il étant une forme de Pfaff qui ne contient aucune des différentielles xlyt, dy*, . dyq+2- II faudra donc que l'on ait

n{d)iy^ — Q{S)dy^=o

identiquement, et comme dyi ne figure pas dans il, cette forme il doit être identiquement nulle. Si le coefficient A ne dépendait que des variables yi, ..., yq-r-2. le système S contiendrait un système de y + i équations à y + 2 variables, c'est-à-dire un système complètement intégrable, cas que nous avons écarté. Le coefficient A est donc indépendant de yi, .■•,yq+-2, et l'on peut le prendre pour une nouvelle variable yq-\-3, de sorte que S contient le système spécial de q -\- i équations

dyi=yidyi, ..., dyq-i^2 = yq+2dyi.

20 Le raisonnement peut évidemment être généralisé. Si ie/)»ème dérivé

de S contient un système spécial de q équations, en remontant de proche en proche, on en conclut que S contient lui-même un système spécial de p -{- q équations.

30 Soit S un système normal de r équations à r + 2 variables, n'admettant aucune combinaison iutégrable, et dont le second système dérivé S" est un système spécial de r — 3 équations. D'après la propriété générale qui vient d'être établie, le système S contient lui-même un système spécial de /■ — i équations

dyi = y%dyu —, dyr = yr-ridyu

et la dernière équation peut être supposée de la forme

Adyr+ i -|- Bdyr~i -\- Cdyi =z o.

Le coefficient B doit être différent de zéro, car le système S serait lui-même un système spécial. On peut simplifier cett« dernière équa-

tion en remplaçant la dernière variable i/r+'i par une intégrale U de l'écjuation aux dérivées partielles

et Hnaleaicnl le système S peut être ramené à une forme réduite

(X) dij^ — y^dyx, . . ., dijr = ijr^idiji, di/r+<i = l^di/i,

où figure seulement une fonction arbitraire F desr-j-^ variables [/i, et qui est analogue à la forme réduite (IX') des systèmes de trois équations à cinq variables.

Inversement, pour tout système S de cette forme, il est évident que le second système dérivé S" contient le système spécial formé par les r — 3 premières équations de S. Pour que S soit un système normal, il faut en outre que S' soit de classe /• -{- 2. Or S' se compose des r — i équations ^

^//2 = !/3(f;/i, ■■•, dtJr—\ = ijrdiji,

Il est évident que ce système est de classe /■+ 2, à moins que la dernière équation ne renferme pas la variable [/r+i, ce qui ne peut avoir lieu que si F est une fonction linéaire de yr-j-i. Le si/stême (X) est donc un système normal lorsque F n'est pas une fonction linéaire de yr+l .

Les systèmes de cette espèce sont les plus simples après les systèmes spéciaux. On peut obtenir toutes les intégrales Mj par l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre où figurent une fonction arbitraire de la variable indépendante et ses dérivées jusqu'à un ordre fini. En effet, si on pose, dans les équations (X), y y = a, y-^ =y(«), on en tire successivement ^3 ^y'(«), ...,yr-fl =/^(''~^K*/> et yr+2 est donné par l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre

rfyr-f-2 =F(«,/(a), /'(«), ...,/(r-li(«), yr+2)du.

l^o Lorsque F est une fonction linéaire de yr+i, F = «yr+l + ^j le système dérivé S' se compose des /• — 1 éciuations

'^!/i = y-idyi, . .,dyr-\ = yrdyu dyr-\-=i — adyr -f bdyx,

et ce système est évidemment de classe/' -\- i, puisque //r + i n'y figure pas. D'ailleurs S est le prolongement de S', puisqu'on obtient S en joignant à S' l'équation dyr = l/r-\~\(ly\- Ce système S' ne peut donc être un système spécial. Si /• est supérieur à quatre, son second dérivé est encore un système spécial de /* — 4 équations : ce système S' peut donc être ramené à la forme réduite (X), où ;• est remplacé par r — \ .