CBAPITRE MI. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
En continuant ainsi, on finira par être ramené à un système normal de la forme (X), dont le système S est le prolongement.
5o Considérons, en particulier, un système normal de trois équations à cinq variables,
(XI) dijt=ijidyi, dy^ — ij^dij^, dtj.=¥(yi,yi,yt,yi,yi)dy^.
Si la fonction F ne renferme pas y^, on obtient toutes les solutions au moyen des formules
fia) étant une fonction arbitraire.
Il est aisé de trouver une condition nécessaire pour qu'un système de trois équations de Pfaff à cinq variables puisse être ramené à la forme (XI) où F ne contient pas y^. En effet, ce système ne change pas quand on change y^ en y- -j- C. quelle que soit la constante C. Ce système admet donc un groupe de transformations à un paramètre. Il en est évidemment de même de tout système de Pfaff qui peut être ramené à la forme (XI) par un changement de variables.
Inversement, soit S un système de trois équations de Pfaff à cinq variables admettant un groupe de transformations à un paramètre. Si l'on fait un chansrement de variables, de façon que les équations finies du groupe soient
jc'i = JCi, Jc'i = J*2. Jc's = Xi, x\ = Xi, xf^ = X5 -f- a,
la variable 0*5 ne devra figurer dans les équations du système que par sa différentielle dx^. On peut donc écrire les équations de ce système sous la forme
wj = 0, 'j)^ = o, dx^ -\- (m>^ = o,
wi, wj. wj étant des formes de Pfaff ne renfermant que les quatre variables aSj, Xî, X3, x^ et leurs différentielles. Dans le cas général, les deux équations wi ^ o. <U2:= o forment un système de quatrième classe qui peut être ramené à la forme canonique (I) par un changement de variables, et le système proposé peut lui-même être ramené à la forme
(XII) dyi = y^dyi, dyi = y^dyi, dy.=/{ff^,yi, y,, y^)dy^-\-fdy^,
un peu plus générale que la forme (XI), et dont la solution s'obtient aussi par des quadratures.
Nous citerons comme exemple un système signalé par M. Cartan,
dyt = y^dyi, dyi = yidy,, dy^ = y^dyt,
qui admet un groupe de transformations à quatorze paramètres. G. Prob. 22
338 LEÇOJNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
80. Problème de Monge (*). — Considérons un système de n — I relations entre n + i fonctions d'une variable ic^jiCg, ...,x^^^^, et leurs ditFérentielles,
(37) F/(a3i, x.^ j?,,+i ; c/j^i, . . . , dx^^^) = 0,
les fonctions F; étant homogènes en dxi, ..., dx^^^. Ces équations admettent une infinité de solutions dépendant d'une fonction arbitraire, car on peut se donner arbitrairement x^^^i=f(Xi) par exemple, et il reste un système de n — i équations ditTérentielles ordinaires pour déterminer x^, ..., x^en fonction de x^. On peut remplacer ce système (87) par un système équivalent de n équations de Pfaff à n +2 variables. Supposons, en effet, le système
résolu par rapport a , • . ■ , :
■■fn-i\x,, ...,x,,^i, ^Jj;
dXn+i f ( ^ ^ dx-2
dxi
en introduisant une nouvelle variable a= , ~ , on est ramené à
dxi
un système de Pfaff S de n équations k n -{- 2 variables, (38) dx^ — udx^=^o,
dx^ — y i(^i» • • 'l'^n+vi d) dx^=^ o, . . . , UiC^^^ jn—idx^^ = o,
qui peut être considéré comme le plus général de son espèce. Il y a donc équivalence complète entre le problème de Mong-e g-énéralisé et l'intégration d'un système de Pfaff de l'espèce que nous venons d'étudier. Le problème de Monge admet une solution
(*) Les systèmes les plus généraux d'équations de Monisme ont été l'objet d'un assez grand nombre de travaux. Voir J.-A. Serret, Journal de Math., j" série, tome XIII, p. 353, 18^8 ; G. Darboux, Id., a' série, tome XVIII, p. 236, i8j3, et 4° série, tome III, p. 3o5, 1887 ; J. Hadamabd, Annales de l'Ecole Normale, série 3, tome XVIII, p. 33y, kjoi ; E. Goursat, Bulletin de la Société Mathématique, tome XXXIII, p. 201', igo5 ; P. Zervos, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, tome CXL, p. ioi3, tome CXLVI, p. 1080, Journal de Crelle, tome CXLIII, p. 3oo ; D. Hilbert, Festschrift Heinrich Weber, pp. i3o-i40.
