CHAPITRE Vil. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO>GE
explicite lorsque le système de Pfaff correspondant est un système spécial, et dans ce cas seulement.
On peut aussi considérer des systèmes de n — i équations où figurent les dérivées jusqu'à un ordre quelconque de n des fonctions inconnues Xi par rapport à la dernière, car il suffit de prendre pour nouvelles inconnues un certain nombre de ces dérivées pour être ramené à un système de la forme (37).
Considérons par exemple une équation
où ?/ et z sont deux fonctions inconnues de x. Posons -7^^ «,
ax
—JLz=o; réquation (3g) est remplacée par le système de Pfaff S de
trois équations à cinq variables
(4o) Wj = dy — udx = 0, (x),^^ du — vdx = o,
0)3= ds — /(JC, y, z, u, v)dx =0.
On a ici
(o\ = o, oj', = duttx — dx6v,
w'3 ^ — {dv^x — dx^v), (mod. Wj, w^, ^3).
Le système dérivé S' est donc formé des deux équations (i)^ = dy — udx ^ o, fa) . z= -!^ to» — o}..=~ du -r ( / — V ^\ dx — dz = o.
Pour que S soit un système spécial, les deux équation?; (xi\ ^ o, w'4 ^ o, (mod. Wj, 0)^)
doivent se réduii^e à une seule. Il faut pour cela que w\ ne dépende pas de du^v — du^u, c'est-à-dire que— ^ soit nul. Il faut donc
que y soit linéaire par rapport à y-^ , et nous retrouvons une équation considérée plus haut (n" 75),
dx
340 LEÇONS SUU LE PROBLÈME DE PFAFF.
En particulier, nous voyons que l'équation de M. Hilbert -r^= I -'^ I ne peut admettre de solution explicite de la forme (27).
Exemples. — I. — Lorsque les équations (87) ne renferment pas les variables elles-mêmes xi, mais seulement leurs différentielles, le système équivalent (38) est de la forme
(38') dxi^=^uda\, dx-i=:fi{u)dxi, ..., dxn+i=fn-l{u)dxi,
fi, fi, ...,/n—i ne dépendant (jue de la variable M. Nous avons remarqué plus haut (n° 77) que ce système est toujours un système spécial. On peut donc dans ce cas obtenir sous forme explicite tous les systèmes de fonctions d'une variable, qui satisfont aux équations (87). Ce résultat peut être généralisé Considérons un système de y équations {q<n— I},
(4i) Vi{dxi, ..., dxn, dxn+i) = o, {i z= 1, 2, ..., q).
Si l'on adjoint à ce système ii — q — i équations de même forme
¥q+i{dXi, ..., dX(/+i) = o, ..., Fn-i = 0,
le système obtenu, quelles que soient les fonctions lV/+i, ..., Vn—t, est de la forme que nous venons d'étudier. On peut donc aussi trouver l'intégrale générale du système (/|i)sous forme explicite, avec plusieurs fonctions arbitraires.
II. — Les formules générales qui donnent les coordonnées d'un point d'une courbe gauche à torsion constante peuvent s'écrire (*)
du
+ «2 ^ y2 dv
+ «2 + f;2 ' vdu — udv
« et y étant des fonctions arbitraires d'un paramètre^. Pour que x.y, r puissent s'exprimer explicitement en fonction d'une variable auxiliaire, d'une fonction arbitraire de cette variable, et de ses dérivées
(1) Darboux, Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, tome 1, 2' édition, igi4> pdffs 61 .
