CHAPITRE Vil. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

jusqu'à un ordre fini, il faudrait (') que le système de Pfaff équivalent de trois équations à cinq variables

&), = (i 4- «2 L. y2^ f{x — du ^ o, &>2 =r (i + a' -J- i'*)dy — do = o, «3 = (i -f «' + o*)rfr — odu + udv = o

fût un système spécial, ou que son système dérivé fût de classe inférieure à cinq. Or on a

, 2v(JvSu — duorj

, 2u(dpêa — duSvf

I ^ II- — r^ 2(daov — oudrf

- ~ i + «î - r2 (mod. w,, '«)», «s).

Le système dérivé est donc formé des deux équations £1, rr wj -|~ ^'^^3 ^^ ^f --2 ^^^ '^t — U<"3 ^ O, d'où l'on tire

dx = — rdc + Bdu -\- Crfo, di/ =: uds + Bjrfa -\- Q.\dv.

B. C, Bj. r. ne dépendant que des variables « et v. Ainsi qu'on Ta. remarqué plu; haut (pag-e 272), ce système est de cinquième classe, et par suite le svstème S est un système normal, non iutégrable explici-^ tement.

Pour ramener le système S à une forme simple (IX'), on peiït modifierla méthode g^énérale en observant que les deux premières équations du système forment un autre système de classe quatre, doïjit l'équation^ dérivée est

(i -j- «* + v^){udT -j- ody) = udu -j- vdo.'

En posant

(42) a = tg ^ cos a, t' = tg i sin a.

(•) En eflFet, les cosinus directeurs de la binormale sont respectivement

si .r, y, r, s'exprimaient explicitenoent par des formules de la forme (a?), a et i> s'exprimeraient aussi explicitement.

cette équation devient

ce qu'on peut écrire

en posant (43)

On a ensuite

d^ =: cos a.d.X + sin udr/.

dY = Xdu,

X = X sin a — // cos ix,

Y =r ^ — ,T, cos a — // sin «.

dX =: sin xdœ — cos adi/ + (x cos « + y sin «)r/a =r (^ — Y)d(x-{- fiin xdx — cos adi/,

et, en remplaçant dx et (/// par leurs expressions tirées des équations du système,

dX=[p — sin (3 cos ^ - Y]d<x.

Enfin, la dernière équation du système S devient, après ce chanfi^emeat de variables,

dz =: sin^ <^da..

Le système donné S est donc ramené à la forme

dY — Xdu, rfX = [^ — sin^cos^ — Y]rf«, Jr = sin2 prf«,

au moyen du changement de variables défini par les formules (42) jE^et (43). On obtient l'intégrale générale de ce système en prenant «pour ^.'variable auxiliaire et en posant

P(44) ^ =/(«), X =/'(«), /3 - sin |3 cos ^S =/(«) +/"(«),

îi^Mt doiané par une quadrature,

sin- ^du,

P étant une fonction de « définie par la troisième équation (44)^ où f{ot) est une fonction arbitraire {}).

(*) C . Cartan, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Sapèrieure, 3' série, t. XXVII, igio, page lyg.