MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. - GENRE DUN SYSTÈME DE PFAFF

81. Eléments linéaires d'ordre quelconque. — Nous allons d'abord définir certaines multiplicités formées d'éléments linéaires issus d'un même point A(Xj, x^, ..., x„) de l'espace à n dimensions. Considérons l'ensemble des éléments linéaires issus du point A dont les coordonnées {dXi, dx^, . . . , dx^ vérifient n — p relations linéaires et homogènes distinctes ; nous dirons, en continuant à employer le lang^age de la g-éométrie, que cet ensemble d'éléments linéaires est un élément plan P à p dimensions. Par exemple, les éléments linéaires intégraux d'un système de Pfaff de r équations forment un élément plan k n — r dimensions (-). D'après les résultats classiques de la théorie des systèmes linéaires et homog-ènes à n indéterminées, tous les éléments linéaires contenus dans un élément plan à p dimensions peuvent se déduire de p éléments linéaires de cet ensemble. Désignons, pour abréger, par e^, Pj, ,.., Pp, les p éléments linéaires

{dx,^), dx^(^), ..., dxj^)), ..., (dxi^P), dx^ip), ..., dxjp)),

et par e = '/~^^e^ -j- '-.j^j + ... -|- ApP- l'élément linéaire dont les n coordonnées sont

Xjrfx,-(i) + l^dxiC^) + . . . + \dxi(P), {i=i, 2,...,n).

Nous dirons que les p éléments linéaires e^.e,. ...,ep sont distincts s'il est impossible de trouver des valeurs des /./ non toutes nulles, telles que les n coordonnées de l'élément IjCi + ... + ^.p^p

{') Le fond de ce Chapitre est l'œuvre de M. Cartan. J'ai seulement modifié quelques démoastrations, en particulier celles qui font l'objet du n" 83.

(*) Pour la commodité des notations et des raisonnements, nous rearardons un élément linéaire (dLr,, djc^, .... djcn) comme une multiplicité ponctuelle à «ne dimension. Un élément plan à /) dimensions est le lieu de xp— i éléments linéaires.

soient nulles à la fois. Pour que p éléments linéaires soient distincts, il faut et il suffit qu'ils n'appartiennent pas à un élément plan à moins àe p dimensions. Lorsqu'il en est ainsi, ces p éléments f?), ^2» • • •» ^r> déterminent un élément planP à p dimensions qui est le lieu de l'élément linéaire e, quand on donne aux paramètres Xj, ..., Ip tous les systèmes de valeurs possibles. Il est évident que tout élément plan P à /> dimensions peut être représenté de cette façon d'une infinité de manières ; il suffit de prendre dans cet élément p éléments linéaires quelconques f?^, e^, ..., e.^, n'appartenant pas à un élément plan à moins de p dimensions; nous représenterons par (ej, e.,, ..., Sp) l'élément plan défini par ces p éléments linéaires distincts.

Si les p éléments linéaires e^, e^, ..., ep appartiennent à une multiplicité plane à q dimensions {q<Z.p), définie par les q éléments e^, e,, ..., eq, l'élément \^e^^ + . . . -f l^e^^ appartient luimême à cette multiplicité.

Nous dirons qu'un élément plan Q k q dimensions est contenu dans un autre élément plan F k p dimensions (p > q), si tous les éléments linéaires de Q appartiennent à P. Pour que l'élément Q soit contenu dans l'élément P, il faut et il suffit que q éléments linéaires distincts de Q appartiennent à P. Inversement, si l'on prend dans un élément plan P à /> dimensions un certain nombre f^ v^ p d'éléments linéaires, distincts ou non, ces éléments linéaires déterminent un élément plan contenu dans P, et qui sera à q dimensions si les ^.éléments linéaires choisis sont distincts.

Soient P et Q deux éléments plans de même orig-ine ayant respectivement p et q dimensions. Ces éléments plans peuvent avoir des éléments linéaires communs; nous supposerons qu'ils aient /'éléments linéaires distincts communs et r seulement (e^, e^, •■■, ep). L'élément plan R déterminé par ces r éléments est contenu à la fois dans P et dans Q, et tous les éléments linéaires communs à P et à Q font partie de R ; car si P et Q avaient un élément linéaire commun er+i non compris dans R, P et Q auraient r -f i éléments linéaires communs distincts e^, ..., er, fir+i.

L'ensemble des éléments linéaires qui appartiennent à un des deux éléments P et Q ne forme })as un élément plan, mais on peut définir, au moyen de ces deux éléments, un nouvel élément plan