CHAPITRE VIII. MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

qui renferme tous les éléments linéaires de P et tous les éléments linéaires de O, et qm est contenu dans tout autre élément plan jouissant de la même propriété.

Supposons P défini par les p éléments linéaires distincts (^1, et, ..., e ), et Q défini par les q éléments linéaires distincts (e'i, e'.y, ..., e'q); l'élément linéaire

e = \e^ + ... -\- Apgp 4- A\e'i -|- . . . + >VV'

lorsqu'on donne aux coefficients a,-, a'/ tous les systèmes de valeurs possibles, décrit un élément plan P + Q, qui est au plus à p -\- ç dimensions. 11 est k p -\- q dimensions si les p -\- q éléments ei, e'i sont distincts, c'est-à-dire si les deux éléments P et Q n'ont aucun élément linéaire commun. Lorsque P et O ont r éléments linéaires distincts communs et r seulement, on peut supposer P et Q définis respectivement par les deux systèmes d'éléments linéaires

P (^1, e^, er, er^\, . . . , ep], •

Q {ei, e^, . . ., er,e'r^u . . .,e'q).

Les p + q — f éléments linéaires e^,...,er, Cr+x ,...,ep, e'r-. x, ....e'q, sont distincts, sans quoi les éléments plans P et Q auraient plus de r éléments linéaires distincts comumns. L'élément e écrit plus haut peut aussi être représenté par

e^\L^e^ + ... -f •J-rer+ 'J-r^ier+l -f- ... + 'S-pCp -{■ aVr-^l -|- ... + '^'qC'q

et par conséquent décrit un élément à p + q — r dimensions. Tel est, dans le cas général, le nombre de dimensions de l'élément plan P -f Q qui vient d'être défini.

Si les deux éléments plans P et Q sont contenus dans un autre élément plan ^ a. m dimensions, il est clair que l'élément P -f- Q est aussi contenu dans £?, et par conséquent on a. entre les dimensions de ces divers éléments, la relation p -{- q - r <^ ni, ou

On déduit de là que. si deux éléments plans P et Q, d'ordres/) et q respectivement, appartiennent à un élément plan d'ordre N, tel que p + q'^y, les deux éléments P et 0 ont en commun un élément plan dont l'ordre est au moins ég-al k p -\- q — N.

On démontrera de même, par voie de récurrence, que, si k éléments plans Pj, ..., P/c, de dimensions pi, ..., />/,, ont en commun un élément plan d'ordre r, et sont contenus dans un élément plan à cr dimensions, on a l'inégalité

Toutes les fois que la somme ^pi est supérieure à {k — i)ro, on peut donc affirmer que les k éléments P/ ont en commun un élément d'ordre S/),- — (A: — i)nT au moins.

Remarque 1. — Si les équations d'un élément plan à p dimensions ont été résolues par rapport à dx^^^, ..., dx^^, par exemple, il figure dans ces équations /)(n — p) coefficients arbitraires, et deux éléments correspondant à des systèmes différents de valeurs de ces coefficients sont. distincts. Un élément plan k p dimensions de l'espace à n dimensions dépend doncdeyo(n — p) paramètres arbitraires.

Plus généralement, soit P un élément à p dimensions ; il renferme une infinité d'éléments Q à q<Cp dimensions. Pour savoir de combien de paramètres dépendent ces éléments Q, supposons, comme tout à l'heure, les équations de l'élément P résolues par rapport à c/aj^^j, ..., dx^. Pour avoir un élément Q k q dimensions contenu dans P, il suffit d'établir p— q relations linéaires et homogènes entre dXi, ..., dx^. On introduit ainsi q(p — q) coefficients arbitraires, en supposant, par exemple, ces équations résolues par rapport à dxqj^-i, ..., dxp. Les éléments plans à q dimensions contenus dans un élément plan à p dimensions dépendent donc de q(p — q) paramètres.

Par exemple, un élément plan kp — i dimensions, contenu dans un élément à p dimensions, dépend de p — i paramètres.

Remarque IL — Soit P un élément plan à p dimensions, représenté par un système d'équations

OÙ 0)^, Wg, ..., w^j, sont n — p formes de Pfaff distinctes. On peut, d'une infinité de manières, trouver p nouvelles formes de Pfaff TT^, ..., TTp formant avec Wj, w^, ..., w^ , un système de n formes