CHAPITRE VIII. — MCLTIPLICITÉS INTÉGRALES

linéairement distinctes, et toute forme de Pfaff est une combinaison linéaire de ces n formes. Tout élément plan Q à y dimensions est donc représenté par un système de n — q relations linéaires entre les n formes w,-, :ia-, dont Içs coefficients peuvent être des fonctions quelconques des variables Xi. Pour que cet élément à q dimensions renferme l'élément à p dimensions représenté par les n — p équations ti)/ = o, il faut et il suffit que les n — q relations qui définissent l'élément Q soient vérifiées identiquement quand on y fait o), =o, .... fc)„p= o, quelles que soient les valeurs de ■Xj, -Sj, ..,, itp. Il faut donc que les formes u^, ..., w^p figurent seules dans ces relations. Donc, tout élément plan Q à q dimensions, renfermant Vêlement plan P à p dimensions défini par les n — p équations w, = o {i =^ i, 2, ..., n — p), est défini par un système de n — q relations linéaires distinctes entre les formes «i, ..., w,p.

La réciproque est évidente. En particulier, tout élément k p -{- i dimensions renfermant P est défini par un système d'équations de la forme

Wl w, «»r p

et dépend de n — p — i paramètres.

On verrait comme tout-à-l'heure que tout élément à q dimensions renfermant un élément k p <i q dimensions dépend en général de (7 — P){^ — q) paramètres.

82. Eléments intégraux d*ordre quelconque. — Un élément intégral à p dimensions dun système de Pfaff est un élément plan à p dimensions, dont tous les éléments linéaires sont des éléments intégraux de ce système, et dont deux éléments linéaires quelconques sont en involution relativement au même système. Un élément de cette espèce sera représenté par E , l'indice p représentant le nombre de dimensions. Un élément du premier ordre sera représenté par E^, ou par la lettre e, qui peut être affectée d'un indice quelconque.

Il résulte immédiatement de cette définition que tout élément plan à un nombre quelconque de dimensions contenu dans un élément intégral E^ est aussi un élément intégral. Ces éléments

intéjï'raux s'iatroduisent naturellement dans la recherche des multiplicités intég-rales du système de Pfaff. Supposons, en effet, que par le point A.{Xi, .. ., x^) de l'espace an dimensions il passe une intégrale M^ définie par les relations

Tous les éléments linéaires issus de A et appartenant à M^^ vérifient les n — p relations df^ = o, ..., c//^p = o, et forment un élément plan P à /> dimensions. Nous savons d'ailleurs que tous ces éléments linéaires sont deux à deux en involution (n° 3). L'élément plan P est donc un élément intégral E^. Pour qu'il passe par le point A une intégrale à p dimensions du système de Pfaff', il est donc nécessaire qiiil existe au moins un élément intégral Ëp issu du point A. Mais cette condition n'est pas suffisante.

Pour trouver une limite supérieure de l'ordre des intég-rales d'un système de Pfaff, on est donc conduit à chercher l'ordre maximum des éléments intég-raux issus d'un point quelconque de l'espace.

Soit e^ ou El un élément linéaire intégral; pour déterminer un élément intég-ral E, passant par E^, il suffit de lui adjoindre un autre élément linéaire intégral e^, en involution avec e^. Il est clair en effet que tous les éléments linéaires ^^^e^ -\- \e^ sont intégraux, et que deux éléments linéaires quelconques À^gj + \e<^, '^^e^ -+- ]i.^e^ sont en involution, car les co variants bilinéaires formés avec ces deux éléments sont égaux, à un facteur près, aux covariants bilinéaires formés avec les deux éléments e^, e^- Soit Eg = (Cj, e^) l'élément intég'ral ainsi obtenu.

Pour avoir un élément intég-ral Eg passant par Ej, il suffira de lui adjoindre un élément linéaire intég-ral e^, n'appartenant pas à Eg, et en involution avec Ci et e^. Il est clair, en effet, que tous les éléments linéaires ^^i^i + ^2^2 + ^3^3 ^^*^"* intég-raux, et on montre comme tout à l'heure que deux quelconques de ces éléments sont en involution. L'élément intég-ral E3 ainsi obtenu sera représenté par (e^, e^, e.^) ou par (Eg, e^). La méthode est g-énérale. SoitE^ = (gj, e^, ..., Cp) un élément intég-ral d'ordre/), déterminé par ^ éléments linéaires intégraux distincts, e^, e^, ••., e^, deux à deux en involution. Pour obtenir un élément intégral Ep^j renfermant Ep, il faut lui adjoindre un nouvel élément linéaire inté-

CUÂFiTRE Mil. — .MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. 349

gral ^p+i, n'appartenant pas à E^, qui soit en iavolutioa avec les /> éléments gj, e*, ...., e^.

S'il n'existe pas d'élément linéaire intégral satisfaisant à ces conditions, E n'appartient à aucun élément intégral d'ordre supérieur à p.

D'une façon g-énérale, un élément intégral E^ est déterminé par p éléments linéaires intégraux distincts, et deux à deux en involution, e^, e^, ..., e . L'n élément linéaire intégral &, qui est en involution avec les p éléments linéaires ei, e^, ..., e^ est en involution avec tous les éléments linéaires de l'élément E^ qu'ils déterminent; nous dirons que & est en involution avec E^. L'ensemble des éléments ê en involution avec un élément Ep est aussi un élément plan H(Ep), que l'on appelle Vêlement polaire de Ep. Soient, eu effet, et, e,, ..., e^ un système de p éléments linéaires distincts de Ep. Les éléments polaires H(e,), .. , H(ep) de ces divers éléments linéaires sont évidemment des éléments plans, et H(Ep) se compose des éléments linéaires qui appartiennent à la fois à ces /> éléments plans H (p/) ; c'est donc aussi un élément plan. L'élément polaire H(Ep) de l'élément intégral E^ contient évidemment l'élément E^ lui-même ; il a donc au moins p dimensions, et s'il n'a que p dimensions, il se confond avec l'élément Ep lui-même. Il est important de remarquer que H(Ep) n'est pas nécessairement un élément intégral ; le cas où il en est ainsi sera examiné plus loin (n" 87).

83. Détermination des éléments intégraux. — Soit Ep i un élément intégral d'ordre p — i, détermine par p — i éléments linéaires distincts Ci, e,, ..., ep i. Pour obtenir un élément intégral Ep renfermant E^^^, il faut joindre à Ep j un élément intégral f'p, non contenu dans Ep j, et en involution avec Ep j. Cet élément e^ doit donc appartenir à l'élément 'polaire H(Ep i), et inversement, en adjoiarnant aux éléments e,, ej, e ^ un élément e^ appartenant à H(Ep j) et non contenu dans Ep j, on détermine un élément Ep renfermant Ep j. Si l'élément polaire H(Ep j) se confond avec Ep^, il n'y a pas d'élément intégral E^ contenant Ep j. Si H(Ep j) est un élément à p dimensions, il forme lui-même un élément Ep renfermant E j, et c'est le seul élé-

350 LEÇONS SUll LE PROBLÈME DE PFAFF.

ment E^ contenant Ëp i. Prenons enfin le cas où l'élément polaire H(^Ep J est à p — I 4-^/) dimensions (') {rp'^ i). Cet élément H(E^j) est alors déterminé par les p — i éléments ei,e^, ..., e^^, et par pp éléments e\, . . . , <?',- n'appartenant pas à Ey,i, les p — I + ^p éléments

étant distincts, et tout élément & de H(E^^) est de la forme

<gt=).^e^ 4- • . . + Ip-iep-i + [J-i^'i -f . • • + V-r e'r^.

Soit Q l'élément plan à rp dimensions déterminé par les Vp éléments e\^ e'2, ..., e'r ', cet élément Q n'est pas nécessairement un élément intégral, et n'a aucun élément linéaire commun avec E^i. Tout élément E^ contenant ^^i est déterminé par E^j et un élément & de H(E^J n'appartenant pas à E^i, ou, ce qui revient au même, par E^i et un élément e' de Q. En effet, l'élément à p dimensions (Ep i, (S), où <g a l'expression écrite ci-dessus, est évidemment identique à l'élément (E^j, e'), où

Tout élément E^ contenant E^^ a donc un élément linéaire commun avec l'élément Q. Il ne peut avoir plus d'un élément linéaire commun avec Q. Si, par exemple, un élément E^ avait en commun avec Q les deux éléments e\, e',, les /> + i éléments e^, ...,ep^, e'i, e'^ ne seraient pas distincts, contrairement à l'hypothèse. Les éléments E^ contenant Ep j correspondent donc d'une façon univoque aux éléments linéaires de l'élément Q à r dimensions ; ces éléments E^ dépendent donc de r^ — i paramètres.

Lorsque r^ est nul, l'application de la règ-le conduirait à une valeur négative pour le nombre des paramètres dont dépend l'élément E^ renfermant E^j; nous avons vu que dans ce cas il n'ejfiste pas d'élément de cette espèce. Si r^=r i, nous avons vu qu'il y a un seul élément E^ contenant Ep j .

(') M. Cartan désigne par Vp -{- i le nombre que je désigne par Vp.