CHAPITRE I. FORMES CJLNO.MQUES
En résumé, si w est de classe paire, Sj est identique à S^, et S^ à S3. Si u est de clas'se impaire, S3 est identique à Sj et S^ à Sj. Les systèmes S^ et S3 sont toujours distincts, ainsi que Si et S^.
Le système S3 est complètement intégrable. Il suffit de le démontrer pour une forme de classe paire ; or si l'on suppose « ramenée à la forme
\\dy, + . . . 4- Ygprfyjp,
le svstème S3 contient seulement 2/> — i équations distinctes indépendantes de / (*),
bjidyi-r ■ ■ + buipdyip b^p^dyi + • • • + bjp.jpdyip
avec ip variables, et la proposition est évidente. Nous voyons en même temps que le système S3 contient une équation de moins que S,, et toutes les intégrales de S3 sont aussi des intégrales de S.,. Ces conclusions sont exactes aussi pour une forme de classe impaire, puisque dans ce cas S3 est identique à S^.
Dans le cas où &> est de classe 2p -{- i, nous avons vu plus haut, que si l'on a intégré S^ (qui est identique à S3), il suffit d'une quadrature pour achever l'intéerration de Sj.
Supposons maintenant qu« w soit de classe 2p, et que Ton ait obtenu les 2/5 — i intégrales des équations 83, qui sont indépendantes de la variable auxiliaire /. Faisons encore un chano'ement de variables de façon que ces 2p — i intésrrales soient précisément ^n^î' -M^îp-i^et soit
«(1) = Y,dy, + ... + Y,^, dy,^ .^ + . . . -f \\dy^
la nouvelle expression de «o après cette transformation.
Le système 83(1) correspondant doit être équivalent au système
dUi = 0, ...,</y2p i=o,
en faisant abstraction de la variable auxiliaire /. Ce système S3(*) doit donc être vérifié, quels que soient c/y.,^, ..., dy^, quand on fait dy^ = 0, . . . , dy,^^ = o . De plus, puisque dans ce cas S^ est iden-
(') Ces équations sont distinctes, car le détermjnant des bik n'est pas nul, puisque w est de classe a/>.
tique kS^, l'équation w(^' = o doit être une conséquence des équations dyi=zo, ..., c/^,j,i = o, ce qui exig-e que l'on ait ¥2^ = 0, ..., Y,j=:o. Les conditions
hhpdijtp + • • • + bindun bkïpdy-2p + • • ■ + bkndi/n / • / on.^
devant être vérifiées quelles que soient les valeurs dedi/.^p, ..., of//„, on doit avoir, pour toutes les valeurs de l'indice h supérieures à 2/3 — I ,
bih hkh J^ I ^Y/i-
Y/ Yk Y/ di/h Y/c Dy/i
Ces relations expriment que le rapport de deux quelconques des coefficients Yj, . . . , Ygp j est indépendant de y^^, ... , y ^^.
La forme «(•' peut donc s'écrire encore, en changeant un peu les notations,
Y), Yg, ..., ^2p-i "^ dépendantque de yi, î/^, ..,, y^p-i.-
Le facteur K ne peut êti^e une fonction des variables //i,y2, •••, ^2/^-1 seulement, car alors m serait de classe ip — i et non de classe 2yo. On peut donc prendre ce facteur K pour la variable y^^ par exemple, et écrire
l/'ipC^idyi + ... + "iop-idy.,^^,)-
Les intégrales du système Sg sont évidemment y^, .. . , y^p-i-, y-zpi et l'on voit que, dans le cas d'une forme de classe paire, l'intégration du systèmes, s'achève sans aucune quadrature quand on a intégré le système S3 .
Remarque L — filant donnée une forme de Pfaff w, soit H la forme auxiliaire
a = Xn+l w + dXn+i,
OÙ Xn+i est une variable distincte des variables ,Vi, ..., x» qui figurent dans M. Le covariant bilinéaire li' a pour expression
il' rz Xn+i w' + êxn+i w — dXn+i (XiSxi + • • + Xn^Xn)-
