CHAPITRE Mil. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

La proposition s'applique aussi pour/) =: i. Un élément d'ordre zéro Eq est constitué par un point (j?^, ..., J3„) ; l'élément polaire H(Eo) se compose de l'ensemble des éléments linéaires intégraux issus de ce point. Ces éléments linéaires forment une multiplicité ponctuelle a r^= n — r dimensions, et les éléments linéaires intégraux qui renferment E^ dépendent bien de r^ — i paramètres.

Prenons encore /i=2. Les coordonnées dun élément linéaire intégral en involution avec un élément linéaire intégral e, doivent vérifier les zr relations

cj,- = o, (ii'i = o, (f = I, 2, . . ., r).

Si l'élément e^ nest pas un élément singulier, les r équations 0)'/ = o se réduisent à 5 relations distinctes, s étant le caractère du système (n" 71).

Les éléments linéaires intégraux en involution avec Pj forment donc une multiplicité ponctuelle à n — r — s dimensions, et l'on an — r — s = i + r^, ou

Pi ^ n — r — 5 — I .

Les éléments intégraux E, qui renferment e^ dépendent donc de 72 — r — s — 2 paramètres. Si n= r -\- s -{- 2, il y a un seul élément intégral E2 passant par ei ; c'est, par exemple, le cas pour le système le plus ^'énéral de deux équations à 6 variables {n = 6, r==s = 2). On le vérifie facilement au moyen de l'interprétation géométrique du n" 70.

Si l'on a n <^ r -\- s -\- 2, un élément gj non singulier n'appartient à aucun élément intégral E2. Tel est le cas d'un système de deux équations à cinq variables, et de classe cinq (n** 76) ; on a

Les nombres r^ vont en diminuant quand l'indice p croît.

Soit Ep un élément intégral à p dimensions et Ep^ un élément intégral à {p — i) dimensions contenu dans E^. L'élément polaire H(Ej,) à /> + fp+i dimensions est évidemment contenu dans

l'élément polaire H(Ëp j) kp — i + a*^ dimensions, car tout élément linéaire intég-ral en involution avec E^ est aussi en involution avec Ëp j. On a clone, entre les dimensions de ces deux éléments, l'inégalité p + r^^^ < /> — i + r^, ou

Cette inég-alité subsivSte évidemment si r^^^j =0 ; elle s'applique

aussi pour/» = i .

La différence r^ — ^p+i ^st du plus égale à r + i , Considérons, en effet, un élément Ej,j et l'élément polaire

H(Ep J, qui est déterminé par Ep j et par r^ éléments linéaires,

que nous représenterons par

n'appartenant pas à E^j. Un élément E^.^^ renfermant l'élément E^ = (Ep i, ^) s'obtient en adjoig^nant à E^ un élément £'= Ài£i + • • • + ^r -i^r —1, en involution avec £. Les paramètres Al, ..., Ir -1 doivent vérifier r relations linéaires qui ne sont distinctes que si le caractère s du système est égal à r, et, comme ces paramètres y figurent d'une façon homogène, l'élément E^j.^ qui contient E^ dépend au moins de r^ — 2 — r paramètres distincts. On a donc

c'est-à-dire

Il est à remarquer que l'inégalité est évidente si r^ — r — 2 est négatif ou nul. Elle s'applique aussi pour r^,,.! =0.

Si les coefficients du système S sont quelconques, il est clair que les r relations, qui expriment que les éléments s, t' sont en involution, sont distinctes, et l'on a r^ — r^^j=r -f- i. Dans ce cas, le caractère s est égal à r, et Ton a bien r^ — ^2 = /' + i-

Remarquons, une fois pour toutes, que les nombres r^ allant en diminuant, on finira par en trouver un r,f+i = o (voir n° 85). Les nombres r d'indice supérieur à ^ 4- i n'existent pas. On suppose