CHAPITRE Mil. — MULTIPLICITÉS LNTÉGRALES

toujours dans les raisonnements que l'indice p est inférieur ou au plus égal à g.

Il existe une relation d'inégalité très simple, entre trois nombres consécutifs r^, /"p+j, ^p+a- Soit Ep i un élément intégral contenu dans un élément intégral Ep^j= (Ep,, t, t'). Les de\ix éléments Ep = (Ep i,£) et E'p = (Ep j, e') sont distincts et contenus dans Ep^j. Soient H (Ep i), H(Ep), H(E'p), H(Ep^/) les éléments polaires correspondants de ces quatre éléments intégraux ; le premier a p — I + ''p dimensions, le second et le troisième ont /> + ''p+i dimensions, et le dernier a /) + i + ''p+2 dimensions. Tout élément e de H(Ep^J appartient aux deux éléments H(£^,j et H(E'p), et inversement tout élément commun à H(Ep) et H(E'p) appartient à H(Ep j.J. D'autre part, les deux éléments H (Ep), H(E'p) font partie de H(Ep j). On a donc, en vertu de la relation générale (i), entre les dimensions de ces quatre éléments,

2p + 2/'p^j ^ ^j 4- I + Tp^j -i- /> — 1 4- A-p, inégalité que Ion peut encore écrire

La démonstration s'applique quel que soit p, pourvu que les nombres r^, r^^^^ rp,^ existent. La dijff'érence r^ — Tp^j ne peut donc augmenter avec p.

La relation (3) est elle-même une conséquence de l'inégalité (4). On a en effet /*i — r^ =s -f- i ^r + i , et par suite r^ — r^^^ <^ r + i , quel que soit p.

Remarque I. — Dans la définition du nombre r^ relatif à un élément intégral Ep i, nous supposons que cet élément Ep i est un élément arbitraire de cette espèce. Pour certains éléments E__i choisis d'une façon particulière, il peut se faire que les éléments linéaires en involution avec Ep^ forment une multiplicité à plus de p — 1 + Tp dimensions. De tels éléments sont appelés éléments singuliers. Un élément E^(xi'^,x^^, •■■■,x^) peut lui-même être singulier, si, pour les coordonnées de ce point, tous les déterminants dordre r déduits du tableau des coefficients du système de G. Prob. 23

354 LEÇONS SLU LE l'HOBLÈME DE PPAFF.

Pfafï" sont nuls. Les éléments linéaires intégraux issus de ce point forment alors un élément plan à plus de n — r dimensions.

Remarque //. — Soit I^ le nombre de paramètres dont dépendent les éléments h^p-\-.q qui renferment un élément non sing-ulierE , en supposant bien entendu qu'il existe de tels éléments, c'est-à-dire que/) 4- ff est au plus égal à g (voir n** 85). Les éléments Ep+y i qui renferment l'élément E^ dépendent par hypothèse del^~^ paramètres. Chaque élément non sing-iilier de cette espèce appartient à son tour à oo /'+^~^ éléments ^p-\q. Le nombre I^ est donc au plus égal à Vj~ 4- O'+y — ' i mais, pour avoir la valeur de I^, il faut diminuer le nombre précédent du nombre des paramètres dont dépendent les éléments E;,+y i qui renferment l'élément E^ et appartiennent à un même élément ^p-\-q. Pour évaluer ce dernier nombre, il suffit de raisonner comme plus haut (pag-e 35o). L'élément Ej3-|-y est déterminé par les p éléments Ci, e^, ....e^ qui déterminent E^, et par q éléments e'i, ..., e'q distincts des premiers. Soit Q l'élément plan à q dimensions déterminé par les q éléments linéaires e\, ..., e'q. Un élément E;,+q i contenant Kp et contenu dans Ey^-^^ est déterminé d'une façon univoque par un élément k q — I dimensions contenu dans Q. Ces éléments ¥ipj^q—\ dépendent donc de y — i paramètres et l'on a

1? = ir' -\-rp^q-^-{q-^)= 1?-' + ''H-y - y- De la formule Vp~ = r^^^ — i, on déduit donc par récurrence la formule g-énérale

= rp^i + ... +rp+q— "'^J .

En particulier, les éléments E^, qui contiennent l'élément E^ dépendent de

(6) „ + ... + ,^£l£±ii

paramètres.

De ce qui précède résulte la possibilité, au moins théorique, de déterminer les nombres Vp par des calculs linéaires, et de former les équations des éléments intégraux des divers ordres. Nous

CHÀPltRE Mil. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. 350

allons indiquer, au paraîi^raphe suivant, comment les calculs peuvent être effectués.

84. Calcul des nombres /v,. — Tout élément intésrral E^^^, est représenté par un système de // — p relations

cTi, cjj. ..., cj„p étant n — p formes de Pfaff^ distinctes ; les r formes Wj, .... tùr qui fissurent dans les équations du système S font partie des précédentes, ou en sont des combinaisons linéaires.

Pour qu'un élément linéaire intésrral (^6j?j, ..., 8a;,.) soit en involution avec l'élément E^, il faut que les r équations

w', = O, . . . , bi'r = O

soient vérifiées par tous les éléments linéaires {dx^, dx,) qui

satisfont aux équations de E^. Si on ordonne l'équation w'. = o par rapport à dx^^, ..,, dx,^, elle prend la forme

ui'i=Qii{Pldx, + ^ii^)dx^ 4- .. + Qini^)dxn=o,

û/i, ...,ÛiVi étant de-nouvelles formes linéaires en oXi, ox,, ..., ix^. Pour que cette équation cj',- = o soit une conséquence des équations de Ep, il faut et il suffit que tous les déterminants d'ordre n — p -\- I déduits de la matrice formée par les coefficients de dx^^, ..., dx^dans les n — p -\- i équations

cTj = o, .... rr„p = O, 0»', = o

soient nuls. En prenant successivement /=i, 2, ...,r. et eu adjoignant les r relations w/((?) = o, on obtient X équations de Pfaff" distinctes que doivent vérifier les Ja?/ pour que l'élément correspondant soit en involution avec Ep. Il suffira de remplacer dans ces équations âxi par dxi pour avoir les équations de l'élément polaire H(Ep), Cet élément ayant au moins p dimensions, puisqu'il contient Ep, le nombre N est au plus ég-al à n — p ; si l'élément Ep n'est pas un élément singulier, on a, d'après la définition du nombre Tp+j, n — y=p + r^^j.et par >:uite r^^j = /i — /> — X. Lorsque les équations de Ep sont résolues par rapport k n — p des différentielles, on peut opérer plus simplement. Si, par exem-

pie, on a résolu ces équations par rapport à of.x' +^, ..., dx^^, en remplaçant dx^^^^^, ..., dx^ par leurs expressions au moyen de dxy^ .... dxp dans les équations w', = o, on aura les équations de H(Ep) en ég-alant à zéro les coefficients de dx^, ..., dxp dans les résultats de cette substitution, et en adjoig-nant les équations w/=o.

Puisque l'élément polaire H(Ep) contient l'élément Ey,, les N=n — P ~ ^p+i équations de cet élément sont de la forme K 81)

A/iTOi 4- A/QHTa + • ■ • + M,n-pTJ^n-p = O, («'== I, 2, ..,,N).

Tout élément E^^^ renfermant E;, est lui-môme représenté par un système d'équations de la forme . ,

CTi BT2 TTSn — v

Pour que l'élément plan k p -\- i dimensions représenté par ces équations soit un élément intégral E^+j, il faut et il suffit qu'il soit contenu dans l'élément H(Ejo), c'est-à-dire que les n — p paramètres 1, vérifient les N relations linéaires distinctes

A/Ai + A;2>^2 + • • . + A/,,i pA,p= o, (f = I, 2, ..., N).

Il y a donc n — p — N= a*^^^ de ces paramètres qui restent arbitraires et, comme ils fig-urent d'une façon homog-ène dans les équations de E^^^, on voit bien que ces éléments E^^j dépendent bien de r^^^^ — i paramètres arbitraires, comme on l'a reconnu directement.

L'emploi des formes symboliques de différentielles permet de former d'une façon très symétrique les équations de H(E^). Puisque E^ est un clément intégral, on a les /■ congruences

w'i = 0, (mod. cil, ^2, -•} ^n—p)i

que l'on peut écrire

w'i —\Aihmhir^k + ^ii'^i +• • + i^ip'^p, {i = i, 2, . . ., r), h,k

TTi, 7T2, .. ., TTp étant des formes de Pfaff qui forment avec crj, rn-i, ..., ct„2, un système de n formes distinctes, et les formes II//,- étant des combi-