CHAPITRE TUT. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

naisons linéaires des formes cii, .... rn,i p. Les éléments linéaires intés^aux en involution avec Ep vérifient les relations

et inversement. Il suffit de remplacer S par d pour avoir les écjuations de l'élément polaire H(Ep). On vérifie bien que les premiers membres sont des combinaisons linéaires de o,, ..,, cT„p. Les conditions qui expriment que les n — p équations cTi=ro représentent un élément intég'ral de S expriment aussi que le système ?> fait partie du système dérivé du système de PfaffSi des n — p équations ra/ =r o. La recherche d'un système S, jouissant de cette propriété revient donc à la détermination des éléments intégraux de S.

L'application de cette méthode permet de déterminer de proche en proche tous les éléments intégraux d'un ordre quelconque d'un système de Pfaff. Supposons, pour fixer les idées, que le système donné puisse être résolu par rapport à dx^, dx^, ..., dxr. On aura les équations générales d'un élément intégral du premier ordre E^ en adjoig-nant aux équations de S les /î — r — i équations

dXr-i-i dXr-\-2 dXn

OÙ \, .. , 'kn-r sont arbitraires ; pour des valeurs quelconques de ces paramètres, on aura un élément non singfulier.

On peut ensuite, en appliquant la méthode générale, former les équations d'un élément E, contenant Ej, et cet élément E^ dépendra de Tg — I nouveaux paramètres. En continuant ainsi, on obtiendra de proche en proche tous les éléments intégraux à un nombre quelconque de dimensions. On n'est arrêté dans l'application de la méthode que si l'on arrive à un élément Ep qui est identique à son élément polaire. Il est clair que ce procédé permet de former les équations de tous les éléments intégraux, singuliers ou non sing-uliers.

Si les paramètres dont dépend un élément Ep ne satisfont à aucune relation d'ég-alité, cet élément n'est pas sinsrulier ; si ces paramètres sont tels que l'élément polaire H(Ep) ait un nombre de dimensions supérieur au nombre normal pour un élément quelconque d'ordre />, cet élément est un élément sinarulier.

Il est évident que Ton n'a que des calculs linéaires à efifectuer, et

358 LEÇONS SUK LK PRCiBLKME DE PFAFF.

les coefficients des différentielles dxi dans les équations de l'élément p]p le plus général à p dimensions sont des fonctions rationnelles de certains paramètres. Le nombi^e des paramètres distincts dont dépend l'élément Ep a été calculé plus haut (n^ 83).

85 Genre d'un système. — Considérons la suite des nombres Tj, /'g, ..., Pp, ... qui ont été définis plus haut, et qui vont en diminuant avec l'indice, et soit r,, le dernier de ces nombres qui soit différent de zéro. Le nombre g correspondant s'appelle le genre du système ; pour un système de genre g, la suite des nombres Vp s'arrête donc à Pg et l'on a la suite d'inégalités

(7) r, > r^ > . . . Pg-i >Pg>o.

Le nombre suivant Pff+i serait nul ; l'élément polaire d'un élément E<^ est à g dimensions seulement et se confond avec E^^^ luimême, si cet élément ne satisfait à aucune condition particulière.

Il est facile d'avoir une limite supérieure du nombre g; eh effet, puisque les nombres pp vont en diminuant d'une unité au moins quand on passe d'un nombre au suivant, on a Pg-^Pt — {g — i)» ou. pg <^n -{- I — p — g, et, comme pg est au moins égal à un, on a g -^ n — p, résultat évident a ppiopï, car il ne peut y avoir d'éléments intégraux à plus de n — p dimensions. Dans le cas où g=-n — p, il passe un élément En~r par chaque point de l'espace et un seul, et le système est complètement intégrable. On peut confirmer ce résultat en observant que g ne peut être égal à n — p que si toutes les différences pp — pp^y sont égales à l'unité. En particulier, on doit avoir r, = /'g -f i , et le caractère s doit être nul. Inversement, si le système S est complètement intégrable, deux éléments linéaires intégraux quelconques sont en involution et l'élément polaire d'un élément intégral d'ordre quelconque H(E^^) se compose de l'ensemble des éléments linéaires intégrauxissus de E(,. On a donc p — i -\- pp =:: n —p, on pp = n — p — p -\- i. Les nombres Tj, p^, r.j, .. vont donc en diminuant constamment d'une unité jusqu'au dernier pg, où g = n — r, qui est égal à l'unité.

On verra un peu plus loin (p. 862) une limite inférieure du nombre g.