CHAPITRE Vin. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

En résumé, pour un système de Pfaff quelconque, il existe une suite de g nombres entiers positifs décroissants, tels que :

Par un point arbitraire E^ de l'espace, il passe oo i élé' ments Ej ;

Tout élément Y.I non singulier appartient à yc 2 éléments E,;

Tout élément E, non singulier appartient à oc ^ éléments E3 ;

Tout élément E^i non singulier appartient à x ^ éléments Eg, si rg^i,et à un seul élément Eg, si r^ = i ;

Cn élément Eg non singulier n'appartient à aucun élément E^+i.

Cela ne signifie pas qu'il ne peut exister d'éléments intégraux E^ à plus de g dimensions; mais, s'il existe de tels éléments, tous les éléments Eg qui y sont contenus sont des éléments singuliers. Nous dirons aussi qu'un élément E^, dont l'ordre m dépasse le genre du système, est un élément singulier.

Considérons, par exemple, le système de deux équations (n" 76)

w^ = f/jj — œ.^dx^ = 0, (o, = dx^ — x^dx^^ = o ; on a, pour deux éléments en involution,

w'j = dx^Sx^ — dxiSx.j = o, oi'f = dx^èx^ — dxiSx^ = o.

Ces deux équations, où l'on regarde Sx^, ox.^, $x. comme les indéterminées, n'admettent pas d'autre solution que

00*1 oa?3 Sxf

(tœi djTi dx^ '

si É^j n'est pas nul. Ce système est donc de genre un, et un élément intégral arbitraire Ej n'appartient à aucun élément Ej. Mais si l'on a c/a?j = o, les deux équations w'i :=:o, <x)'^ = o se réduisent à une seule oX^ = o. Par chaque point de l'espace il passe donc un élément du second ordre E,, défini par les équations dxi = o, dx^ = o, dx^ = o, quoique le système soit de genre un.

D'une façon srénérale, supposons que par un point quelconque de l'espace il passe un élément intégral E^ et un seul ; le genre gr du système est au plus égal à m et, s'il lui est égal, le système est

complètement intégrable. D'abord, il est évident que le g'enre g ne peut être supérieur à m, car, si Ton avait g^ m, chaque point de l'espace appartiendrait à une infinité d'éléments E,„. Si Ton a g =m, l'élément E^, qui passe par un point de l'espace, doit contenir tous les éléments linéaires intégraux issus de ce point. On a donc g ^= n — r, et nous venons de remarquer que, dans ce cas, le système est complètement intégrable.

Ceci conduit à g-énéraliser la définition donnée plus haut (no 83) des éléments sing-uliers. M. Cartan dit qu'un élément E^ est sing-ulier s'il appartient à un élément Ej;-|-i, qu'un élément E^^—i est sin-

g-ulier s'il appartient à plus de oo î? éléments E^, ou si tous les éléments E^ auxquels il appartient sont sing'uliers, ... qu'un élé-

ment E^ est sing-ulier si par ce point passe plus de oo i éléments E,, ou si tous ces éléments linéaires sont sing'uliers.

Les conditions auxquelles doit satisfaire un élément intég-ral singulier étant des conditions à' égalité, il est clair que l'on peut toujours, et d'une infinité de manières, trouver une suite d'éléments intég-raux

■Efl' Ej, ..., Er/

tels que chaque élément appartienne au suivant, et qu'aucun d'eux ne soit sing-ulier. Si tous les éléments d'une multiplicité intég-rale Mp {p^g) sont des éléments non sing'uliers, on peut affirmer que par Mp il ne passe aucune intég-rale à plus de g dimensions. Nous verrons un peu plus loin que par M^ il passe au moins une intég'rale M^.

86. Caractères d'un système. — Soit S un système de g-enre g . De l'inég'alité (4) on déduit que les nombres r^ — r.-^ — i, r.2 — r.^ — I, ..., rg^\ — rg — i, r,, — i, dont aucun ne peut être nég'atif, forment une suite déci^oissante

la dernière inég'alité s'obtient en faisant p^g — i, '"g\-\ = 0 dans la relation {f\).

Les nombres de cette suite ont été appelés par M. Cartan les