CHAPITRE VIII. MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

caractères successifs du système S, et ou les désig-ne par la lettre s,

Sg-\ = rg—l rg I,

Sg = rg— I, et les inégalités iJS) peuvent s'écrire d'une façon abrég:ée

s^, le premier caractère, est identique au caractère s défini plus haut, *j est le second caractère, ... Il y a ^ caractères pour un système de genre-^ Quelques-uns de ces caractères peuvent être nuls ; mais si s^ est nul(v <; ^), tous les caractères suivants s^^i, ... jusqu'à Sg sont nuls aussi.

En ajoutant les formules (9) membre à membre, il vient

«i -r *5 + ■^-^Sg=r^—g = n — r—ff, et Ton en tire (10) g = n — r — (Si + s^ + . . . -\- Sg).

Si on pose r=s^, cette formule devient (lo*) g = n~-(s^ + s^ + . . . + Sg).

Prenons, par exemple, un système de deux équations à 6 variables sans élément caractéristique. On a n = &, r = 2. s^^ 2. r^ = n — r = ^, rî = r^ — i — 5, =1, et par suite g =2, 3*^0. Le système est de genre deux, comme on devait s'y attendre d'après ce qui a été dit antérieurement (n<» 70, 83).

Lorsqu'un système est complètement intégrable, tous les caractères sont nuls, et inversiement. Il suffit d'ailleurs que le premier caractère soit nul pour que tous les autres soient nuls aussi.

D'après l'inégalité ('3j, tous les caractères successifs sont au plus égaux à r, et l'on a les inégalités

r^ — '•;<C'*-I- I. f^ — r^<^r+ i ry i — '*j<^'*-r i.

et par suite r^ — ^q -^ {f" + i)(ç — 0» o^' ^" remplaçant r^ par n — r,

(il) rg—ï^n — q[r-{- i).

Si le nombre q ne dépasse pas le quotient entier de n par r -f i, rq — I est positif, et par suite le système est au moins de genre q. Donc, le genre d'un système de Pfaff est au moins égal au quotient, à une unité près, du nombre des variables par le nombre des équations augmenté d'une unité.

Si les coefficients du système S sont quelconques, les inég^alités précédentes doivent être remplacées par des ég-alités. Soient cj le quotient de la division de n par {r -\- i), k \e reste ; ona. g = q,

r^ = n— r, r2 = n-f I — 2(A'-f i), ...,nç = n-\' i — q{r -{- 1)= k -{- i,

S^ ^2 . . . Sq — 1 r, Sq rC.

En particulier, s'il y a une seule équation w = o, le g-enre est le quotient du nombre des variables par 2 ; il est égal à p s'il y a 2/> ou 2p -\- i variables, en supposant bien entendu que les coefficients de w ne satisfont à aucune relation d'égalité particulière (Cf. no 6).

87. Systèmes de première espèce. — M. Gartan appelle systèmes de première espèce les systèmes pour lesquels le ^ième caractère Sg est nul. Supposons, d'une façon plus générale, que tous les caractères à partir de .s*^ (v -^ g) soient nuls, le caractère 5.^^ n'étant pas nul ;

«v-i > O' \ = ^V+l = .-. =Sg = 0. Les nombres r^, ^^1^, ••• allant en diminuant d'une unité, on a

^+1 = ^ — ï. ^+2 = r^ — 2, ..., rg = r^ — (g — v), et puisque rg = i, on a

ff= ^„ 4- V — I .