CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

Le plus petit nombre entier v tel que le caractère correspondant soit nul est le genre vrai du système.

Soit E . un élément intésrral non singulier ; l'élément polaire H(Ev i) est k r.^ -r ^ — ^ =ff dimensions. Cet élément H(Ey j\ est un élément intégral E,,. Soient, en effet, t, e' deux éléments linéaires quelconques de Hi E^A n'appartenant pas à E.^i, E.^ et E'.^ les deux éléments E.j == (E.^i, e), E'.^ = /'E.^-i- e')» les éléments polaires H(E.^), HfE'.^) sont à v + r.^^i = v — i -\- r.^^g dimensions, et sont contenus dans H(E,i) qui a le même nombre de dimensions. Ils se confondent donc avec H(E,^i) et par suite sont identiques, de sorte que deux éléments quelconques s, t de H(Ey i) sont en involution. Par tout élément intégral E„^ non singulier, il passe donc un seul élément intégral Eg, qui se confond avec Vêlement polaire W(E.j^ ; il ne peut y avoir un autre élément E'g contenant E.^j, car tous les éléments linéaires de E'g doivent faire partie de H^^^E.^jj.

. Inversement, supposons que l'élément polaire d'un élément intégral E^j non singulier soit un élément intégral E^ (9^I>^)- Et* ajoutant à E^j un élément t de E^ n'appartenant pas à E^i, on obtient un élément intégral E, = (E,^i, t\, dont l'élément polaire H(E.A se confond avec E^^. On a donc aussi

et par suite s, =^ o; on démontrerait directement de la même façon que tous les caractères suivants sont nuls. Le genre du système est g puisque tout élément linéaire en involution avec E^ appartient à cet élément. Le genre vrai est au plus égal à v, car s.^^, 5.^9, ..., peuvent aussi être nuls.

Les systèmes de Pfaff pour lesquels il existe des caractéristiques sont de première espèce. Supposons que chaque point de l'espace soit l'origine de y éléments linéaires caractéristiques distincts, c'est-à-dire en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux de même origine (n'^ 66). L'ensemble de ces éléments caractéristiques forme un élément plan à v dimensions, qui est évidemment un élément intégral E . Soit g le genre du

système; tout élément Eg non sing-ulier contient l'élément E de même orig-ine. En effet, si z était un élément caractéristique n'appartenant pas à E^, l'élément E^^+i = (E^, z) contiendrait Eg. Si E^ se confondait avec E , tous les éléments linéaires intég-raux seraient caractéristiques, et le système serait complètement intégrable. Soit ff = y-^ff'; un élément E^^ non sing-ulier est déterminé par E et par ^r' éléments linéaires non caractéristiques e^, e^, ...,egi. L'élément Eg' = {ei, e^, .. ., egi) est un élément intég-ral contenu dans E^, et son élément polaire H(E^f) se confond avec Eg, car, s'il contenait un élément z n'appartenant pas à E^^, l'élément (E^, t) serait un élément intég-ral E^^+i renfermant E^, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Nous venons de voir que le caractère %'-fi sera nul, et par suite le genre vrai d'un système de genre g est au plus égal à g' -{- 1 =z g — y -f ï 5 si ce système admet des multiplicités caractéristiques à y dimensions.

On a vu plus haut que tout système de Pfaff à n variables et de classe n — y = n' peut être écrit de telle façon qu'il n'y fîg-ure que n' variables et leurs différentielles. Pour ne pas multiplier les notations, nous supposerons ce chang-ement de variables effectué, de telle sorte que les n' variables x^, x.^, ..., Xn' figurent seules dans les r équations du système S

Wl,=0, Wg =r O, . . . , 0)^ = O.

Ce système S peut être envisag-é de deux façons, suivant qu'on le considère comme définissant une famille d'éléments linéaires E^ dans l'espace à n dimensions {x^^, ..., J?,J ou comme définissant un système d'éléments dans l'espace à n' dimensions [x^, x^, ..., Xn'). Quand le système sera envisag-é à ce point de vue, nous le désignerons par S'.

A tout élément intég-ral E^ de S correspond un élément E\ et un seul de S', sauf si l'on avait, pour cet élément Ej, dXf = o, ..., dx/i' = o. Inversement tout élément intégral E'^ de S' est la projection dans l'espace à n' dimensions de oc^ éléments intégraux E^ de S, car on peut choisir arbitrairement les valeurs de dx„^,^,..., dx^. Plus généralement à tout élément intégral E^ de S correspond