CHAPITRE VlII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

un élément intégral E'p de S' si les coordonnées de cet élément E^ ne véritient aucune relation d'ésralité. Soient

les coordonnées d'un élément intég^ral e du système S en involution avec Epi l'élément correspondant e' du système S' {^x^, ..., Sxn') est en involution avec E'p.

Le lieu de l'élément e est un élément plan H(Ep)à /) -f- rp dimensions dans l'espace à n dimensions ; le lieu de l'élément e' est un élément plan H(E'p) k p -^ r'p dimensions dans l'espace à n' dimensions. Mais la différence rp — r'p doit être égale à n — /j' = y, car les relations qui expriment que l'élément e est en involution avec Ep ne renferment que ix^, ..., SXn'i tandis que 3Xn'-rU •••» ^^n restent arbitraires.

On a donc, pour le système S',

r\ = r^ — y, r\ — r, — y, . , . , r'p = rp — y

s £ s ^j o 2 oj, , . . , s p op.

Le genre du système S' est diminué de y unités, mais les caractères s\,s',, ..., s' sont égaux respectivement à s^^s^, ••.,s .

Considérons, en particulier, un système formé d'une seule équation à 2/> + i variables et à coefficients quelconques. Il suffit de faire, dans les formules générales du n*^ 86. n = 2/) -l- i, r=i; le genre g est égal à p, et l'on a

r^=2p, /*, ^ 2/) — 2, ..., Tp = 2,

Sj = .Sj ^^ . . . ^^^^ Sp I .

Une équation de Pfatî à n variables et de classe y) + i <^ n forme un système de première espèce pour lequel on a

Les p premiers caractères sont égaux à l'unité, et les suivants

sont nuls.

88. Théorème d'existence. — Après avoir étudié la composition des éléments intégraux dordre quelconque, il nous reste à examiner la question essentielle. Etant donné un système de

366 LEÇONS SUR LE J'UOULÈMK DE PFAFK.

Pl'aff S de g-enre g, peut-on assembler les éléments Intégraux d'ordre/) (p-^ff) de façon à obtenir une multiplicité intégrale M , et quel est le deg"ré d'indétermination du problème? Nous ne nous occuperons que des intégrales Mp non singulières, c'est-à-dire dont tous les éléments Ep ne sont pas des éléments singuliers.

Il est évident, ainsi qu'on l'a déjà remarqué à plusieurs reprises, que le système S admet une infinité d'intég-rales à une dimension Ml, dépendant de fonctions arbitraires d'une variable, qui s'obtiennent par l'intég-ration d'équations différentielles ordinaires, quand on a choisi ces fonctions arbitaires. Comme toute intégrale Mp^i renferme une infinité d'intégrales M^, on est conduit à se poser le problème inverse, c'est-à-dire à rechercher les intégrales M^^^ passant par une intégrale Mp, le nombre p étant supposé inférieur à g. Le théorème suivant, dû à M. Cartan, est fondamental.

Par toute intégrale non singulière Mp, il passe au moins une intégrale Mj,^^, si le genre du système est supérieu,r à p. Il en passe une et une seule, si chaque élément intégral E^ non singulier appartient à un élément intégral E^^j et à un seul. Il en passe une infinité dépendant de ^fonctions arbitraires de p -\- i arguments, si chaque élément intégral non singulier E^ appartient à ocP éléments intégraux E^^i.

Le nombre p est identique à r^^, — i, r^^^ étant le nombre défini plus haut (n» 83).

Soient Ejd'^ un élément particulier non singulier de M^^, et Xx^, ..., x^ les coordonnées du point de l'espace à n dimensions d'où est issu cet élémeirt. Gomme nous ne considérons que des multiplicités analytiques, nous pouvons supposer que, dans le voisinage de ce point, n — p des coordonnées d'un point de M^ sont des fonctions holomorphes des p autres coordonnées, que nous appellerons Xi, x^, ..., Xp, de sorte que la multiplicité Mp est représentée par le système d'équations

(12) Xp^.^:= (f{Xi, ...,Xp),

Toute multiplicité M^^^ passant par Mp peut être déHnie en se donnant x^+i, ..., x^ en fonction de Xi, ..., Xp, et d'une autre