CHAPITRE VIII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

variable x', ces fonctions étant telles qu'elles se réduisent aux précédentes o, ç^, ...•', quand on prend pour a:"' une fonction convenable de Xj, a?2, ..., JCp. Il est évidemment permis de supposer que cette variable x' est une des variables x^^i, ..., x^. Nous supposerons, pour fixer les idées, que c'est J7pj.£ et, pour plus de clarté dans les notations, nous remplacerons x^+i par ^(J?^, ...» Xp) + a;, et jQous désignerons les variables x^^^, ..., x^ par r,, z^, ..., 5„, le nombre m étant égal à n — p — i . Ave^; ces notations, les variables qui figurent dans le système S sont

1" "^2' •••» Xp, X, Jj, »9, •••» * B» >

la multiplicité intégrale M^ connue est représentée par le système d'équations

(i3) x = o, s^=zz^{Xi, ...,Xp), ..., :^=-:Jx^, ..., Xp),

et toute multiplicité M^^^ renfermant M^ est à son tour représentée par les m équations

(i4} --, = ^i{x, Xi, ..., Xp), ..., r,,, = <^^{x,Xi, ..., Xp),

les m fonctions ^j, ..., <^„ devant se réduire à 7,, ..., ç„ respectivement pour x = o, et étant holomorphes dans le domaine du point X = o, Xi ^= J7i", ..., Xp = Xp^.

Pour exprimer que les équations (i4) représentent une intégrale Mp+i, on peut écrire que tout élément Ep+i de cette multiplicité est un élément intégral du système. Or tout élément Ep+i de yip^i est défini par les p -\- i éléments linéaires distincts

dxi dx2 dxp dx^ dçj^ ds„,

00 CI î>rj Or„,

dxi dXj dxp dœ^ dci ds,n

* I o o o ?£i^ :SSm

JXi !SXi

dxi dxj dxp dx^ ^[£L— ■ ^-m

'* o o ' ' ' I o ^Si ' ' ' l>Sm

Ces p + I éléments linéaires doivent être intégraux et deux à deux en involution.

Soient

(ùi>^)=.akdx 4- aicidx^ + ... 4- akpdxp + bk\dz^^ f ... + bhmdzm = o {k= I, 2, ..., r)

les r équations du système S. Nous poserons

i2,(A-) = a,: + 6a-i ^ + . . . + bkm ^^ , ili'fc) ^ a,à + b,A ^^ + . . . + bk,n ^^ ;

les k{p 4- I) équations 0^(/'^):=o, îi/CO^io suffisent pour exprimer que M;,+ ) est une multiplicité intégrale du système. Mais on j)eut leur adjoindre immédiatement celles qui expriment que les p + i éléments e, e^^, ..., Cp sont deux à deux eu involution, et qui se déduisent des premières. Ces relations peuvent s'écrire sous forme abrégée

le symbole — indiquant une dérivation par rapport à xi, quand

on j ve^SivAe z^^, z^, ..., z^coïn.ïn.e àQ& îoncùonii àQ% p -\- i variaiiles indépendantes x, ic^, ..., Xp. Nous partagerons ces équations en deux groupes, le premier ne renfermant pas les iîo*'*^

(I) i-iiW = o, £iij(^) = —^ Ùr'^''' (^y, = 1,2,. ..,/>);

les équations de ce groupe expriment que les p éléments e^, e^, . . ., ep sont intégraux et deux à deux en involution. Les équations du second groupe

(II) noW = 0, iV'')=:^^r ^=0,

expriment que e est un élément intégral en involution avec les p éléments linéaires e^, gjî •••? ^p-

Si les relations du groupe (I) sont vérifiées, l'élément a p dimensions défini par les p éléments linéaires e^, e^, ...,ep est un élément