CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES

Le système analogue à S^ pour ia forme auxiliaire il est donc le su levant

/ Xn+l{aiidXi -f . . . + aindJCn) — XidjCn^l ^o, {li) ) XidXi + . . . + X„</j?„ = o,

( dxn^\ = o, (j" = I, 2, ..., n),

et se compose par conséquent du système S2 auquel on aurait adjoint l'équation djcn-^i = 0. La classe de il est donc supérieure d'une unité à la classe de w, ce qui paraissait évident a priori.

Les équations du système ^3, analogue à S3, pour la forme ii, sont de même

(23) aiidxi + . . . 4- aindxn = — -^. ( t = i , 2, . . . , n).

et on en déduit, par une combinaison facile,

(23) \^ {aiidXi + • • • 'raindxn)dxi = o =

Cela posé, nous avons à distinguer deux cas, suivant la parité de la classe de &>. Si w est de classe impaire, on ne peut satisfaire aux équations de (23) qu'en posant il = o, ahdxi -f- . . . -j- aindjCn ^ o ; le système -i s'obtient en adjoignant l'équation fi = o aux équations de Sj . Si 6> est de classe paire, on peut satisfaire aux équations de -3 sans supposer il =: o, alors la relation précédente (23) donne w ^ o, et le système Ï3 se réduit alors au système S3

aiidx, — ... — (ijndxn djCn-l

où l'on a écrit le dernier rapport — ^-^— à la place de di. Ce sys-

Xn+l tème admet, outre les -'p — i intégrales indépendantes de j"«^i, une autre intégrale où fijcure Xn~i-

Remarque II. — On a remarqué aussi que les systèmes Si et S4 sont toujours distincts : le premier Sj se compose d'un nombre pair déquations, tandis que Sj renferme un nombre impair d'équations linéairement distinctes. 11 est évident, d'après la signification même du système S^, que ce système ne change pas quand on multiplie la forme w par un facteur quelconque K, comme on peut s'en assurer par un calcul direct. Nous avons fait remarquer, en effet (page 20), que deux élémenls linéaires intégraux en involution de '.»:= o sont aussi des éléments linéaires intégraux en involution de l'équation K&> = o.

Remarque III. — On peut opérer comme il suit pour avoir l'ordre du système S^ :

aj^dXi + . . . + ajndxji amdx^ + . . . + an,n—\dxn—\.

XjC?aîi -b . . . + '^ndxn — 0.

Si on ég-ale les premiers rapports à dt, il faudra chercher le nombre des équations linéairement distinctes du système

ai^dXi + . . . + ciindxn — Xidt = o, {i z= i, 2, ..., n) XidXi + . . . 4- X,idXn= o,

où dxi, . . ., dxn, di sont reg-ardés comme les inconnues, et diminuer ce nombre d'une unité. Cela revient à chercher l'ordre des premiers mineurs du déterminant symétrique gauche

«îl

• • } «2/ij -

• • ? (inn> ~

qui ne sont pas nuls, et à diminuer ce nombre d'une unité.

L'ordre des premiers mineurs de H qui ne sont pas nuls étant toujours pair, on voit bien que l'ordre de S4 est toujours un nombre impair.

8. Formes de classe 2 et de classe 3. — Si une forme w est décelasse un, le covariant bilinéaire doit être nul identiquement, puisque le système S^ contient toujours un nombre pair d'équations linéairement distinctes ; w est donc une différentielle exacte df, et, si l'on a prisy*pour la variable y^ par exemple, on a r^ = dy^.

Si w est de classe deux, le système S^ ne contient que deux équations distinctes et l'équation w = oest une conséquence de celles-là. Il s'enëliit que tous les déterminants du troisième ordre déduits du tableau (T2) doivent être nuls. Si l'on prend en particulier tous les déterminants du troisième ordre que l'on déduit de ce tableau en ass^bciant la dernière lig"ne à deux autres lig-nes quelconques, on retrouve les conditions de la pag-e 127 des Leçons sur les équations de premier ordre.