II

— r j^l J*. iTj. ..., Xp, 5j, ..., 5,,,,

zx "-P^" ■ '^'

les seconds membres dépendant des variables a?, Xj, ..., j^, des fonctions rj, ..., 5^, et de leurs dérivées par rapport aux varia-

blés X,, ...s Xn, et enfin des dérivées ^^^ , . . . , ^^ , et ces

seconds membres sont linéaires par rapport à ces dérivées.

Ce système (II') est un système de forme normale, dont ou suppose, bien entendu, les seconds membres holomorphes dans le voisinage des valeurs initiales des arguments.

Prenons pour 5^ q , ^ ..., z^ des fonctions arbitraires *;n-o-rl(^' J?i, ..., ajp), . . ., ^Jx, a?i, ..., Xp)

des p -\- I variables x, x^, ..., Xp, se réduisant, pour a; ^ o, aux m — p fonctions

et holomorphes dans le voisinage de x= o, x^,=^x^^...^Xp=:iXp^. Les équations (H') admettent alors un système d'intégrales holomorphes

z^=^^{x,x^,...,Xp\ .... i^^, = *^o(x,J?„...,J?p) G. Proh. 24

370 J^EÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

se réduisant, pour x = o, aux m — p fonctions Çj(a;i, ..., Xp), ...,

cp^ (iPi, ...,Xp). Les multiplicités DTlp-i-i représentées par les

formules

(i5) z^=^,{x,x„ ..., Xp), ..., z^ = ^^X^,Xi, ...,Xp)

passent bien par la multiplicité Mp, et, d'après la façon dont on a obtenu ces multiplicités OH/j-i-i, il est clair que toute intégrale Mp-^i du système de PfaJGF passant par M^, est comprise dans les multiplicités DlI/)-fi, par un choix convenable des fonctions arbitraires ^m-p+v •••' ^m des/> -H I arg-uments x, x^, ..., Xp.

Nous allons maintenant démontrer, et c'est là le point le plus délicat de la démonstration, que réciproquement, quelles que soient les Jonctions arbitraires *^q . j, ..., <ï>„,, satisfaisant aux conditions spécifiées plus haut, la multiplicité OILp+i est une intégrale du système S (^).

(1) M. Cartan établit ce point essentiel par un raisonnement intuitif très intéressant, que je reproduis presque textuellement {Voir Annales de l'Ecole Normale, 3* série, t. XVIII, p. 360).

« Pour démontrer que les multiplicités OlCn-^i satisfont aux équations (I) • et (II), nous allons démontrer que si une multiplicité OlLn-i-i' déterminée comme il a été dit, satisfait aux équations (I) et (II) pour une certaine valeur de x, elle y satisfait aussi pour la valeur infiniment voisine x -\- Sx.

Si cela est démontré, comme les équations (I) sont vérifiées par la multiplicité OlLp+i pour X :^ o, puisque 01"Lp-fi se réduit alors à Mp et que les équations (II') sont supposées vérifiées par la multiplicité 3TLn-fi, et par conséquent aussi les équations (II), il en résultera que les équations (I) et (II) sont vérifiées pour toute valeur de x.

Or, supposons que pour une certaine valeur de x les équations (I) et (II) soient vérifiées. On a alors, en particulier, pour cette valeur de x,

Mais si i\'*) est nul, il en est de même de sa dérivée prise par

Tyxi

"yO '\h.i rapport à la variable xi, indépendante de x. Donc — est nul pour la

valeur considérée de x. Or, dire que fij(^) et —— s'annulent pour la

valeur x, c'est dire que fljCft) s'annule pour la valeur infiniment voisine X -\- Sx. Il en est de même, pour x-\'§x, de — et des quantités

analogues. Donc, pour x -\- §x les équations (I) sont vérifiées. Il en est de même par hypothèse des équations (II') et, comme conséquence algébrique, des équations (II) qui sont équivalentes à (II') en tenant compte de (I). Donc, pour x-\-§x, toutes les équations (I) sont vérifiées. »

CHAPITRK vni. — MULTIPLICITÉS LNTÉGRALES. Bli

Nous nous appuierons sur le lemme suivant qui est à peu près évident.

Soient F^, F.,, ..., F^ des fonctions analytiques des h -\- p -\- i variables Zj, ..., Z/i, x, Xi, ..., Xp, holomorphes dans le voisinage des valeurs Z, = o, ..., Z/, ^ o, x = o, x^ = Xj**, ..., Xp = x^ et se réduisant à zéro quand on y fait Z^ = o, ..., Za= o, quelles que soient les valeurs des autres variables x^x^^^ ...,Xp. Les équations

(i6) j^ = §i, ii= 1,2, ..., h)

où les seconds membres sont des fonctions linéaires et homogènes, à coefficients holomorphes, des Fi et des dérivées partielles des fonctions F^, Fg, ..., F^ par rapport aux variables x^, x,, ...,Xp, prises en y regardantZj, ..., Zh commedes fonctions de x, x^^, ..., Xp, n'admettent pas d'autre système d'intégrales se réduisant à zéro pour X = o que Z^ = o, ..., Zh = o.

Il est clair, en effet que Z^ = o, ..., Za = o est un système d'intégrales des équations (i6) et, d'après le théorème général (Leçons n» 1), il n'existe qu'un seul système d'intégrales satisfaisant à ces conditions initiales.

Cela posé, nous savons que les équations (II) se réduisent à m — p équations distinctes, en tenant compte des relations (I). On peut toujours prendre, pour former ces m — p équations, les r équations D.J^^> = o, puis s = m — p — r autres relations, que nous représenterons par

li'i = o, . . . , a's = o.

Si on résout les //i — p équations

£2jl)=0, ..., iV''* = 0, Q.\ = 0, ..., Ll's = 0

par rapport à — -, ..., !-et qu'on porte les valeurs obtenues

dans les autres équations ii/o(^> = o, elles se réduisent à des identités en tenant compte des relations du groupe (I). Ces relations du groupe (I) ne sont pas non plus en général distinctes, et se réduisent à N équations distinctes.

â72 LEÇONS SUR LE PROBLEME DE PFAFF.

Considérons le système d'équations

iV.i) = UoS ..., <V' = Uo^"), ii\ = u'i, ..., il'. = u'.„

où Uo'^', U/, U/C'), VijW sont reg-ardées comme de nouvelles variables, et où l'on ne prend pour former les équations de la seconde lig"ne que celles qui correspondent aux N équations distinctes du g"i'oupe (I). De ce nouveau système on peut

tirer — - , . . ., '- et quelques-unes des dérivées de z,, .... z,„

par rapport aux variables x^, ..., Xp en fonction àe x, x^, ..., Xp., ^j, ..., z^ et des dérivées restantes, et des variables auxiliaires Uq"^', U't, \Ji^^\ UyC*^ ; en portant les expressions de ces dérivées dans les fonctions ii^i^^^ on obtient des fonctions des arguments précédents qui sont identiquement nulles en vertu des hypothèses si l'on suppose que l'on ait

UoW = o, U'/ = o, Ui(ft) = o, U,y(fe) = o.

Supposons que dans les expressions ilo^'"' ii^^^^ %i^^\ i-M/'^K on remplace Zi, 5,, .... z^ par les fonctions ^j, *2, ..., <i>^, définies plus haut. Soient Vo(*», Vt(^), Vq/^*), V^yC^) les fonctions de x, x^, . . ., Xp ainsi obtenues, qui sont évidemment holomorphes dans le voisinag-e des valeurs initiales ^ = o, ic^ = .r^°, ..., aîp = Xp^.

D'après la façon dont on a déterminé ces fonctions <l>j, ..., ^^^, les fonctions Vq(*) sont identiquement nulles, ainsi que celles des fonctions Vo,(''^ qui correspondent aux s équations il'/ = o. Quant aux autres fonctions Vo/(*), et aux fonctions Vj(^), V/yf^), nous pouvons affirmer seulement jusqu'ici qu'elles sont nulles pour x = o, quelles que soient x^^^ x^^ ..., Xp.

La relation

nous donne

ilo.-W:

:>xi d^x

puisque la fonction Vq^*^) est identiquement nulle.