CHAPITRE VllI. — llULTIPLiCITÉS IMÉGILVLES

D'autre part, l'identité

donne de même (i8)

Ml/Wfe) OiVfl'*» ^noi(fc)

?a" ^yxi ^xj

3a; :>Xi ^xj

Or, d'après ce que nous venons de remarquer, les fonctions V^,,'*) sont nulles identiquement toutes les fois que les fonctions VjW et V,y<*) sont nulles. Il s'ensuit, d'après le lemme cité plus -haut, que les équations (17) et (18) n'admettent pas d'autres intésrales holomorphes s'annulant avecx que V|'*) = 0, V,y'*) = o. Les équations (i5) représentent donc bien une intégrale Mp+i du système de PfafiF.

89. Problème de Cauchy. — Le théorème précédent est l'analogue du théorème général d'existence pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles dont il se déduit. Nous allons maintenant indiquer un système de conditions qui déterminent complètement une intéçrrale M<, admettant un élément E^ voisin d'un élément donné non singulier E^", et telles qu'en faisant varier ces conditions, on obtienne toutes les intégrales analytiques, holomorphes dans le voisinage de cet élément.

Soient Y,^{x^'',x^, ...,jî^*) un point non singulier de l'espace, Ej*^ un élément intésrral non singulier issu de Ej,, E," un élément intégral non singulier passant par Ej", ..., Ej^" un élément intégral non sino-ulier passant par E**^— 1. Les éléments polaires H(En), H(Ei°), . .., H(E"j^i) sont définis par des systèmes d'équations linéaires que l'on peut écrire sous la forme suivante. Les r équations qui définissent H(Eo) sont les équations de Pfaff elles-mêmes où l'on a remplacé x^. x^. ..-, x^ par Xi**, a;,", ..., x,". Ces r équations peuvent être résolues par rapport à r des diflFérentielles que nous désignerons, en modifiant un peu les notations, par

H(Eo) ds^,dzu ...,dSr.

L'élément polaire H(Ei) est défini en adjoignant aux équations précédentes s^ équations nouvelles entre les difiFérentielIes autres

374 LEÇOiNS SUR LK PUOBLÉMK DK PFAFP.

que dz^, dz^, ••., dzr. Nous supposerons ces équations résolues par rapport à s^ difFérentielles nouvelles

H(E/) ■ dz,W, ...,dzs(').

L'élément polaire H(E2^) a 5, dimensions de moins que H(Ei^) ; il est donc défini en adjoig-nant aux équations qui définissent H(E^'')52 relations linéaires entre les différentielles autres que dz^, ..., dZr, dz^(^\ ..., dzs^^^'>. Ces s^ relations peuvent à leur tour être résolues par rapport à .V2 différentielles nouvelles

H(E/) dz,i2), ...,of^.s,(^',

et ainsi de suite. L'élément H(E%i) est défini en adjoig-nant aux équations qui définissent H(E''^2) .s>— 1 équations nouvelles résolues par rapport à Sg—i différentielles

H(E%i) dz.iff-"^), ...,dzf-^K

Enfin Ej-,** s'obtient en adjoig-nant aux équations précédentes pg — I = Sff équations nouvelles résolues par rapport à s,j différentielles Ej,/ dz^^'J), . . ., dzs^ <^),

Toutes les différentielles

(3>i^, • • • ) ClZr

dz^'.i), . . . , dzs ^(f\

dont le nombre est r -\- s^-\- ... -\- Sfj=^n — (j, sont donc exprimées au moyen des g différentielles restantes que nous désig-nerons par dx^, ..., dxg.

Pour avoir E^^/— 1, il faudra joindre aux équations qui définissent E,/ une relation entre dxi, .,., dx,j,

E%1 dXg = (J-g^xdx^^ + ... + (ly^g-\dXg-\ ',

pour avoir E^/'2, il faudra de même joindre une autre relation entre dx^^, ..., dxg-i

E%2 dxg-i = (Xg-i^idx^ + . . , + ag^i^ g^<i,dXg-<i,