CHAPITRE Mil. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

et ainsi de suite. Enfin, on obtiendra les équations de définition de Ej" en adjoignant "aux équations de définition de Ej** une dernière relation

Il est clair que si l'on prend une suite d'éléments intésrraux non singuliers Ej, E,, ..., Ey, chacun d'eux étant contenu dans le suivant, voisins respectivement des éléments E^**, E^", •.., Ej^**, et leurs éléments polaires H(E,), H(Eï), ...,H(E^i), les équations qui définissent ces divers éléments pourront être résolues par rapport aux mêmes difiFérentielles que les équations précédentes.

Nous désignerons dans la suite par

a^, ..., ag. Cl, ..., Cr, Ci<i), ..., C5,(*>, ..., Ci^ff), ..., Cg^iff) les coordonnées de l'élément E^

a-i = «1, ..., Xg^=ag, . .., Zs^^'* = Csjff).

D'après la forme des équations qui définissent Eg^, toute intégrale yig admettant cet élément peut être représentée par un système de n — g équations permettant d'exprimer rj, ...,£r, ^,(*>, ..., Ss t^> en fonction de Xi, x^, ..., Xg qui jouent le rôle de variables indépendantes. Il en sera donc de même de toute intég'rale My admettant un élément Eg assez voisin de Eg"^.

Pour déterminer toutes ces intégrales, nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

// existe des intégrales Mp (p ^g) représentées par des équations de la forme

(i ) \ ^' ~ ^li^iy ^ï. •••' ^p)^ r,W = *,(*)( J7,, Xj, ..., Xp\

/ Xp -\- l = «p+i» • • • , Xg ■=■ ag^

les fonctions 4», et *((*' étant des fonctions holomorphes de Xi, X,, ..., Xp dans le voisinage des valeurs j?j = o^, .... Xp = Up, prenant pour Xi =^ a^, ..., Xp = Op des valeurs suffisamment voisines des coordonnées a, aW de Félément E^, et satisfaisant aux conditions suivantes :

Les fonctions */(*)(Xj, Xt^ ..., Xp), où k~^ p — /, sont arbitraires ;

Les fonctions A\^p~^), . . . , *.ç ^p-^^ se réduisent pour Xp = Up à Sp-\ fonctions arbitraires de x^, x^, ..., Xp—\

'^f^(P-'^)(x^, x^, ..., Xp-i), . . ., ?.9^//'-^>(^ii ^2' •••' •'K/)-i);

Les fonctions fp^iP-^), ..., ^^ o'''~'' ^^ réduisent pour Xp =ap, Xp—i = ap—i à Sp-^ fonctions arbitraires de x^, x^, ..., a?p 2,

Les s^ fonctions <I>j(*), ..., <î>5^(i) .çg réduisent, pour X2= qo, ...,Xp = ap, à Si fonctions arbitraires de Xi,

Enfin, pour a?^ =: aj, ..., Xp = ap, Si, s^, ■ ■ •-, Zr se réduisent à r constantes arbitraires

On suppose bien entendu que toutes les fonctions (fiW sont holomorphes dans le voisinag-e des valeurs initiales ai, ...,ap, et prennent en ce point des valeurs voisines des coordonnées correspondantes de P]q.

La démonstration est immédiate pour/)=i. Il est évident, en effet, qu'il existe des courbes intégrales représentées par les équations

SiHO = <PiW(x^), k >o

Z^ = <ï>i(iCi), . . ., Zr= *r(.ri),

les fonctions $/'*) étant arbitraires, et les fonctions *j, ..,, <ï>r étant déterminées par un système d'équations différentielles du premier ordre, ce qui permet de choisir arbitrairement les valeurs de ces fonctions pour j?^ = «j.

Pour démontrer que le théorème est g:énéral, il suffit donc de prouver que, s'il est vrai pour une valeur de p <^ g, il est encore

vrai pour la valeur ^ 4- i.

Soit M/, une muUi|jlicité intéi^-rale définie par les conditions