CHAPITRE Mil. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES

précédentes. Une multiplicité intégrale M^^-i passant par Mp peut être définie en prenant pour les 5,. 5/<*^ et Xp-^2' •••» ^g tles foùctions de Xi, ..., Xp. Xp-i-i se réduisant pour Xp-^i = «p-fi aux fonctions qui définissent Mp. D'après le théorème général du précédent paragraphe, et la forme sous laquelle on a écrit les équations de définition de l'élément H(Ep\ le système (II') qu'il faut intégrer pour avoir les multiplicités Mp+i peut être résolu par rapport à

»rr i>5,ii) ^%<P>

^Xp+i ^Xp+i ^Xp+i ^Xp^i

et on peut choisir arbitrairement les fonctions Xp-i-o, ..., Xg, et s,'*', où k^p, deo",, ...,Xpd-i, ainsi que les fonctions de J?^ ...,Xp auxquelles doivent se réduire les autres inconnues pour Xpx-i^^ap^i. Or si l'on prend pour •37p-^2, ..., Xg les valeurs constantes

Xp^2 = (lgJ^<i, . . .. Xg = Qg,

pour les fonctions, qui peuvent être choisies arbitrairement, des fonctions de Xi, ...,Xp-\-i, se réduisant pour j?p-i-i = flp-f-i aux fonctions correspondantes relatives à la multiplicité Mp, les valeurs initiales des autres fonctions Si, ..., Ss^P^ étant choisies de la même façon, on voit que le théorème est encore vrai pour la valeur/) -f- i. Donc il est général.

Le théorème est vrai en particulier pour p = g. On peut donc énoncer la proposition générale suivante :

Le système de Pfaff S, de genre g, considéré comme définissant z^, ffj, ..., Ss '^' en fonction des variables Xj, Xg, ..., Xg admet un système de solutions et un seul pour lequel les /onctions inconnues sont des fonctions holomorphes de j?^, x^, ..., Xg dans le domaine du point x^ = «,, ..., Xg ^ Og, tel que les Sg fonctions 5/^', z^'ff^ Ss '^' soient identiques à Sg fonctions arbitraires

Oi'ff\Xi, ..., Xg), . . ., ?*^<^)(J΄ X,, ..., Xg),

les Sg-i fonctions 5,'i/-*>, ..., 5* j'y— l'se réduisant pour Xg=:zag à Sg-i fonctions arbitraires

9i^-Hx^, ..., Xg-i), .... r*^/^~*K-3?i' •••' -^ff-i)^

et ainsi de suite, les s^ fonctions z^i^), ..., ^s/i) se réduisant, pour ^2 = a^, ..., Xtj = ag, à Si fonctions arbitraires de œ^,

et enfin les r fonctions z^, z^, .. ., Zr se réduisant à r constantes arbitraires 91, cpg, . .., cpr, pour Xi = ai, ..., Xg = ag.

Il est clair que tout système d'intégrales holomorphes, admettant un élément voisin d'un élément donné est déterminé par un système de conditions de cette nature. On peut donc dire que la multiplicité intégrale M.g la plus générale dépend de

Sq fonctions arbitraires de g variables, Sg—i — g — / variables,

s^ — / variable,

r constantes arbitraires.

L'énoncé précis qui précède explique bien ce qu'on doit entendre par là. On remarquera que dans cet énoncé ne fig-urent que les nombres g, r, s^, s^, ..., Sg.

Dans le cas d'un système S de r équations à n variables, dont les coefficients sont des fonctions arbitraires, on a remarqué (n° 86) que le g-enre g est ég-al au quotient à une unité près de n par r -\- i,et que les nombres s^, s^, ..., %— 1 sont ég-aux à r, tandis que Sg est ég-al au reste k de la division de n par r -\- i. L'intégrale générale Mg d'un système de cette espèce dépend donc de k fonctions arbitraires de g variables, de r fonctions arbitraires de g — / variables, . ... de r fonctions arbitraires d'une variable et de r constantes arbitraires.

La démonstration du théorème montre en même temps quelles sont les intég-rations à effectuer jiour obtenir la multiplicité M^ satisfaisant aux conditions initiales données. On a à déterminer successivement les intégrales M^, Mg, ..., Mj,i situées sur M^ et que l'on obtient comme il suit :

Ml est l'intersection de Mg avec la multiplicité an — g -{- i dimensions obtenue en faisant

Xj a g, • • • , Xg Og J