CHAPITRE Vlll. — MULTIPLICITÉS LNTÉGRALES

Mj est l'intersection de M^ avec la multiplicité kn — g -{- z dimensions

X3 = «3, . . . , Xg = Qg ;

M^i est l'intersection de My avec la multiplicité k n — i dimensions

X, =za.

La première multiplicité M, s'obtient par l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires, tandis que les multiplicités suivantes Mo, ..., M^i, et la multiplicité M,^ elle-même s'obtiennent par l'intégration de^ — i svstèmes successifs d'équa» tions aux dérivées partielles de forme normale.

En remplaçant les multiplicités précédentes par des multiplicités choisies arbitrairement, on obtient le problème de Cauchy sous sa forme la plus g-énérale (voir Cartan, loc. cit., p. 287 et suivantes).

Dans le cas particulier où les nombres s.^ s,^ , p ..., Sg sont nuls, l'intéarrale My ne dépend que de fonctions arbitraires de moins de V variables. Le problème de l'intégration peut alors être simplifié par une méthode qui généralise la méthode de Mayer pour les systèmes complètement intéçrables. Nous renverrons au Mémoire de M. Cartan pour l'exposition de cette méthode.

Remarque. — Un système de g«nre g peut admettre des intéafrales M«s à plus de g dimensions, mais tous les éléments intégraux Ek de ces multiplicités sont des éléments sinsruliers, et les intég-rales elles-mêmes sont dites intégrales singulières. Par exemple, le système

dx^ = x^dxi, dx^ = x~dxi,

qui est de genre un, admet une famille d'intég^rales sing-ulières Mg, représentées par les équations

UL â ^ 1 ' JO^ — '— V-* ^ * CjC-> ' v>*

L'étude g"énérale des intésrrales singulières d'un système de Pfafl exigerait encore des recherches nouvelles, d'autant plus nécessaires que ces intégrales singulières donnent quelquefois la

véritable solution du problème qui a conduit au système de Pfaff.