Application aux équations aux dérivées partielles

— Les systèmes les plus g:énéraux d'équations aux dérivées partielles, à un nombre quelconque de variables indépendantes et de fonctions inconnues, ont été, depuis Cauchy, l'objet d'un grand nombre de travaux. Des résultats définitifs ont été obtenus par M. Riquier (*), dont les recherches ont permis de résoudre complètement le problème suivant : Etant donné un système de m équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque, à un nombre quelconque de variables indépendantes et de fonctions inconnues, reconnaître si ce système admet des intég-rales et, dans le cas de l'affirmative, préciser les arbitraires (constantes ou fonctions) dont dépendent les intég-rales.

Ce problème n'est lui-même qu'un cas particulier de l'intég-ration d'un système de Pfaff. En effet, on peut toujours supposer qu'un système d'équations aux dérivées partielles ne renferme que les dérivées du premier ordre des fonctions inconnues; il suffit, pour que cette condition soit réalisée, d'adjoindre aux fonctions inconnues quelques-unes de leurs dérivées partielles, et le système ainsi obtenu peut être remplacé par un système de Pfaff. Ce nouveau procédé est évidemment plus symétrique, puisque rien ne disting-ue les variables indépendantes et les fonctions inconnues. Il est vrai que, pour ce système de Pfaff, on ne cherche que les intégrales M„ qui n'établissent aucune relation entre les variables Xu x-2, ..., x^, considérées comme variables indépendantes dans le système d'équations aux dérivées partielles d'où l'on est parti. Mais M. Cartan (^) a montré qu'on peut toujours prolonger un système de Pfaff de façon que l'intégrale générale du nouveau système n'établisse aucune relation entre n formes données de Pfaff wj, w,, ..., 0)^^. Dans une note récente (^), M. Maurice Janet a montré comment l'étude dii^ecte d'un système d'équations aux

(') Voir en particulier son ^•rand ouvrage Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles (Gauthier-Villars, igio).

(^) Annales de l Ecole Normale, série J, t. XXI {iqo4), p. làg.

C^) Les caractères des modules de formes et les systèmes d'équations aux dérivées partielles (Comptes rendus, t. CLXXIV, IQ22, p. 433).