CHAPITRE I. FORMES CANOMQLES

nous verrons de même que le problème est résolu dès que l'on connaît les multiplicités intégrales dont Tordre est le plus arrand possible.

Pour que l'équation (i) soit une conséquence des équations ^^4)» linéaires en dx^, dx^, ..., dx^. il faut et il suffit qu'il existe p facteurs \, \, ..., Àp, tels que l'on ait

X^dx^ + Xjrfxg + . . . -f X^dx^ = \,d/^ + \d/, + ... +\dj^, pour tous les systèmes de valeurs de dx^, ..., dx„, et par suite que les n équations

dXi

soient compatibles en 1^,1^,....^^. en tenant compte des relations (3) qui définissent la multiplicité M„p. Tous les déterminants d'ordre /> + i déduits du tableau

:>xi '

:^Xi '

à n colonnes et ^ + i lig-nes doivent donc être nuls en tenant compte des relations (3).

Si les équations

définissent une intég-rale, quelles que soient les valeurs des constantes Cj, Cj, ..., Cp. ces multiplicités forment une famille à p paramètres, et il passe une de ces multiplicités par un point quelconque de l'espace (au moins dans certaines résrions), et tous les déterminants d'ordre p -}- i du tableau (T) doivent être identiquement nuls.

On peut exprimer autrement qu'un système de p équations entre x^, x^, ..., x„ définit une intéja;'rale de Téquation (i ). Suppo-

sons ces équations résolues par rapport à /> de ces variables, x^, a^j, ..., x^ par exemple, de façon que la multiplicité M„p soit définie par les p équations

les variables x ^^^ ..., x^^ n'étant assujetties à aucune relation. Pour que cette multiplicité soit une intégrale de w = o, il faut et il suffit que les fonctions cp^, cpj^ •■ > îp vérifient les n — p relations

où l'on suppose x^,...,x^ remplacées par ç^, ^2, • • • . 'fp dans Xj, Xg, ...,X„. Ces relations forment un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre à p inconnues ; mais ce système est d'une forme très particulière, et on ne peut lui appliquer les théorèmes classiques d'existence, sans le transformer tout d'abord, car chaque équation ne contient que les dérivées des fonctions inconnues prises par rapport à la même variable. C'est par des méthodes toutes différentes que l'on est arrivé à la solution g-énérale du problème.

Il est cependant un cas particulier où l'on peut affirmer sans examen que les équations (5) admettent une infinité de solutions, c'est le cas où p= n — i. Le système (5) se compose alors d'une seule équation, et l'on peut choisir arbitrairement n — 2 des fonctions cfj, cpg, ..., <?„!• Toute équation de Pfaff à n variables admet donc une infinité d'intég-rales à une dimension, ou de courbes intégrales, dépendant de n — 2 fonctions arbitraires d'une variable. L'existence de ces courbes intégrales est d'ailleurs à peu près évidente a priori. En effet, si l'on adjoint à l'équation w= o des équations de même forme 0)^ = 0, ..., a)^2 = o, linéaires en dx^, ..., dx^, formant avec la première un système de n — i équations linéairement distinctes, on obtient un système d'équations différentielles ordinaires, dont l'intégrale générale représente une famille de courbes intég-rales de l'équation (1), dépendant de n — i constantes arbitraires, dont on peut disposer de façon qu'une de ces courbes passe par un point arbitraire de l'espace à n dimensions.