CHAPITRE I. — FORMES CANONIQITS

qui expriment que léquation w = o est complètement inté^rable. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour que wsoit de classe 2, car les équations du système S, se réduisent à deux équations distinctes, et l'on peut évidemment prendre l'équation w = 0 pour l'une d'elles.

L'intég^ration de l'équation w = o permet de ramener cette équation à la forme canonique y.-,dyi,e\, cette intégration par la méthode de Mayer exig-e une opération i .

Quel que soit le nombre des variables indépendantes, on peut aussi employer la méthode de J. Bertrand. Soient en effet yi et y^ deux i ntégrales distinctes du système S) ; on a démontré que l'on peut, par un changement de variables, mettre w sous la forme Yidyi + Yidyi, ou Yj et Yo ne renferment que^j et^j, et il suffira d'intégrer ensuite l'équation différentielle

Yidyi + Y^dy.y = o,

pour mettre enfin w sous la forme canonique u^dui.

Cette méthode exige les opérations 2, i et i. Elle semble donc plus compliquée que la première, mais il est à remarquer qu'elle n'introduit aucune difficulté étrangère au problème. En effet, si l'on a intégré l'équation oj = o, il suffit d'un changement de variables pour ramener oj à une forme canonique y^dyi, et on a immédiatement l'intégrale générale yi = Ci, y,= Cg du système S^.

Prenons enfin une forme w de classe 3. Le système Sj se compose de deux équations et le système Sj de trois équations. Si l'on prend pour variables nouvelles yi, y^ deux intégrales distinctes de Si, b> prend la nouvelle forme

V, = Yjrfy, + Y.dy.2 4- dy^,

y^ étant une variable distincte des deux premières qui s'obtient par une quadrature (n'^ 5), et Yi; Yg ne dépendant que de yi, y,. L'intégration de l'équation du premier ordre Yidyi + Ygrf^j = ^ permet enfin de ramener w à la forme réduite

z^dz^ + dy^,

Zi, Zo, y^ étant trois fonctions distinctes des variables Xi. Cette méthode de réduction exige les opérations 2, i, une quadrature et une autre opération i .

Prenons par exemple une forme à trois variables Xt, x^^ x,^, M =XidXi -f X^dx^ + X^dx^'; le covariant ])ilinéaire est identiquement nul, si l'on a à la fois :>Xi ^ ^^^ ^ "^

et w est alors de classe un, m = di/i.Sl le covariant l)ilinéaire n'est pas nul, le système S^ se compose des deux équations

dxy r/j3g dx:i .

3X2 <JX:3 1^X3 D^X| î>Xi 5X2 2>X:i ^Xi DXj DX;j Z^O^a ^Xi

pour que w soit de classe deux, il faut et il suffit que l'équation M = o soit une conséquence des relations précédentes, c'est-à-dire que l'on ait

X /^"^Wx f^ — ^Wx Z"^ — ^Wo

^\:>X3 T^xJ ^ ^\^Xi dxj ^ H^-^a ^xj

Nous retrouvons la condition classique d'intégrahilité.

Prenons le cas général 011 w est de classe trois, et supposons que l'on ait obtenu une intégrale pai'ticulière du système S^. On peut faire un changement de variables tel que, pour la nouvelle forme w = ^idl/i + ^^dy% -H ^'idi/^, y^ soit une intégrale particulière du système correspondant Sj. Il faut pour cela que l'on ait,

en posant

11 = j Y,di/2 4- Ygf/yg,

on peut encore écrire

M zzzz du -\- (Yi ^ j dyi = du + odyi.

Cette méthode, qui sera étendue plus loin à une forme quelconque de classe trois, exige seulement une opération 2 et une quadrature.