CHAPITRE I. FORMES CANOMQUES

9. Formes canoniques. — Les résultats des paragraphes précédents peuvent être résumés comme il suit :

1° Etant donnée une forme de Pfa£F w de classe 2/> + i, on peut la ramener à la forme

Wjp étant une forme de classe ip, où figurent seulement 2p variables, et la variable «jp^i ne figurant pas dans wj^. Celte réduction exige l'intégration du svstème S3, puis un changement de variables où l'on prend 2.p intégrales distinctes de S3 parmi les nouvelles variables. Ces ip variables sont celles qui fiarurent dans w^ . Quant à «jp^^, on la détermine par une quadrature, et cette fonction n'est pas complètement déterminée, car on peut lui ajouter une fonction arbitraire des 2/> variables qui fisrurent dans ro* , à condition de modifier eu même temps les coefficients de cette forme. ■

2*' Une forme m de classe 2/) peut être mise sous la forme

W2p i étant une forme de classe 2/> — i où figurent seulement 2/) — I variables, et la variable u^^ ne figurant pas dans wg^. Cette réduction exige l'intégration du système S3, puis un chang-emeat de variables où l'on prend 2/) — i intésfrales distinctes de S3 parmi les variables nouvelles.

Le coefficient ttgp se détermine sans aucune quadrature, et on peut multiplier ce coefficient par une fonction arbitraire des variables qui figurent dans 'j^p^j, à condition de modifier en même temps les coefficients de cette forme.

Il est facile de déduire de ces propositions l'existence d'une forme canonique pour une expression de Pfaff. Supposons, pour fixer les idées, que ',> soit de la classe 2/> + 1 ; après une première transformation, nous pouvons écrire

la forme w^^ de classe paire peut à son tour s'écrire

^tp—i étant une forme de classe 2/) — i où fig'urent 2/) — i variables seulement. En continuant ainsi, on a une suite d'ég'alités

^223 + 1= ^2p "l~ ^^2p + ii ^2p ^^^= "2j3^2p— 1'

1 — W2r ~r ût^2r+i> W2r — U^rfi^ir — i?

wjjg, W2j3 i, •••, W3, «2» '«^i soTit des formes de classe marquée par l'indice, et, d'après la façon même dont on obtient ces égalités, les variables «2^+1' ^2p^ ••■^ ^1 ^^^^ indépendantes, puisque la variable Ui ne fig-ure dans aucune des formes d'indice inférieur à i.

En éliminant w^, W2» •••, ^^p entre ces relations, on obtient pour M^p+i l'expression

'^2p + i ^^^^ d^2p+i ~r ^2p^'^2jo— 1

+ ll2pUip-2dll2p~^ + ••• + "2p ■•• UiUtdu^,

ou, plus simplement, en changeant de notations,

"'2^+1 = -2^i^yi + V//2 + ... + Zpdy^ + d!/j,+„

i/i,y2, ••■iyp+ii ^ii ^25 •••» ^10 formant un système de 2/> + i fonctions distinctes des variables primitives.

On verrait de la même façon qu'une forme de classe paire lù^p peut être ramenée à la forme canonique.

wg^ = Zidij, + z^dy^ + . . . + Zpdy^,

i/i, ..., yp,2^, ..., Sp formant un système de 2/> variables distinctes.

Les résultats démontrés plus haut (no 2) se trouvent ainsi établis de nouveau, et d'une façon beaucoup plus complète.

Nous avons vu déjà comment on peut déterminer la classe d'une forme, et par suite le type auquel elle peut être l'amenée. La démonstration précédente donne en même temps le moyen, au moins en théorie, d'effectuer la réduction, par des intégrations successives de systèmes complets et des changements de variables. Remarquons que toutes les formes successives que l'on rencontre, à partir de la seconde, sont des formes oi'dinaires, dont la classe est égale au nombre des variables qui y figurent.