CHAPITRE I. FORMES CA>"0NIQT:ES
Puisque deux formes de même classe peuvent être ramenées à une même forme canonique, on peut toujours passer de l'une à l'autre par un changement de variables. Le seul invariant dune forme de Pfaff, vis-à-vis du groupe des transformations ponctuelles les plus générales, est la classe de cette forme.
Les propriétés des systèmes S^, S,, S3, S^ deviennent intuitives sur les formes canoniques. Pour une forme canonique d'ordre impair, on a
"'ip-i = dz^^, — dyy^z, + dz^^i — dyM^ + ... ; les systèmes S^ et S3 sont formés des zp équations
dy^ = o, ..., dy^ = o, f/r, = o dz^ = o.
Les systèmes Sj et S^ s'obtiennent en adjoignant aux précédentes l'équation dy^^^.^^^ = o.
Dans le cas d'une forme canonique d'ordre pair, w'^p a la même expression que tout à l'heure ; Si et S, sont formés des 2p équations.
dyi = o, .. . , dy^ = 0, dz^=o. ..., dz^ = o, tandis que S3 et S^ sont formés des 2 p — i équations
d^i dr-2 dzj,
dy^ = o, ..., dyj, = o.
Si
et admettent les 2/j — i inléarrales yt, y,, ..., y , — , .... ^^
Exemple I. — Soit
M = xiXid.Ti + XtJCidXi + {jCi + JCsXs) dœ^ + œ^^dx^.
Les équations du système Sj se réduisent à quatre
dxy ■=. o, dx% = o, XidXi + dXi = o, x^dXi -{- x^dx^ ■= o,
et 'jj = oen est une conséquence. La classe est doncèg'ale à 4- Le système S3 se compose des trois équations
x,dxi + x,dx, ^dx, = o, ^=d^ = ^tdx,-x,dx,-x,dx,
JCi Xi TiXi
et on voit facilement trois intégrales —, XiXs-^ x^, x^x^.
44 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Posons — '^=zt/i, oc^x-i + œ^=iy2, œ^.x^ = y^, et prenons un nouveau
système de variables Xi, x^, ij\, ya, y^ ; w devient
w = ,c, {dij^ + yi Jya) .
Comme on le savait a prioin, la forme dyt + yi'///3 est de troisième classe, mais il est inutile de continuer le calcul, puisque cette forme est canonique. En revenant aux premières variables, on obtient l'expression facile à vérifier
w = Xid{x^ + XtX:^ + Xid{X^X.^.
Exemple II. — Soit
W ^ XidXs + .X':)rf.r2 -f- XidX3.
La classe est t/'ois, et le système de PfafF se compose des deux équations
d (xj — Xj) d{x3-- Xj) d{xi — Xi)
X^ X-i Xi '
d'où l'on tire les intégrales X2 — Xi = //2, X2 — Xi = y^. Si on prend .X'i, y^, y^ pour variables, il vient en effet
(i -^^ + -î^i (//s 4- .'/ 3J I + !/sdy2
Exemple 111. — Soit
w r= x^dx^ + Xidxi + Xïdx-i -\- x^dx^ + x^dx^^. La classe est ft/iy, et le système S3 donne les quatre intégrales X.2 — Xi — //2, Xi — ./:;i = yi, x^ — x'i = y^, x-^ — x'i = y.^. Si l'on exprime w au moyen de ,r,, y2j Us, y^, y^, on trouve
-7^— + X, (//g + //3 + iji + ys) + y2c/y3 + y3^,'/4 + Uidy-,.
La forme
(>j(i) =: y^dyi + //3<:^y4. + //^f^ys est de classe quatre,
et l'on va voir, à l'exemple suivant, comment on la ramène à une forme canonique.
Exemple IV. — Soit
w =r x^dxt -\- x-idx-i + Xidx^,.
