CHAPITRE 1. FORMES CANO.MQLES
Le déterminant A =
est différent de zéro.
Le système S, est
on en tire les inlésrrales
en prenant les nouvelles variables i/i, y*, y,, a;^, on a :
x, = !/.je y» ^y, £i ^, j., = yj, a-3 = ysc ,!^ ( Ut)
et w devient
( \ yi yt^ n
J^ .1^ .Tj
= yiyze ~ 'J' dy. + y^ ~ ^^ dy, = y.e ~ 'J' (dy, -- i^ rfyj j ,
ce qu'on peut écrire r^'/y* + z^dy^, r^, rs. y*, //s formant un système de quatre fonctions distinctes.
10. Formation des systèmes de Pfaff successifs. — La méthode de réduction précédente ex^ope l'intésrration successive des svstèmes de Pfaff associés aux formes intermédiaires que l'on rencontre dans la réduction. En utilisant la classification des intégrales due à Cauchy, G. Darboux (•) a montré que l'on pouvait écrire ces systèmes de Pfaff successifs d'avant d'avoir effectué aucune intégration, pourvu que l'on choisisse convenablement les nouvelles variables. Supposons, pour fixer les idées, que w soit une forme de classe zp à n variables x^, x^, .... x.^. Le système S3 correspondant admet 2p — 1 intégrales distinctes ; il y a donc
(') G. Darboux. Sur le problème de Pfaff {Ballelin des Sciences Mathématiques (18831, pp. 3o-34).
46 LEÇONS SUR LE PROBLÈxME DE PFAFF.
toujours n — 2p -\- i des variables Xi au moins qui ne sont pas des intégrales de ce système.
Pour fixer les notations, nous supposerons que x^p, x^^+i, •••, x^ ne sont pas des intégrales de Sg, et nous désignerons par ui l'intégrale du système S.^ qui se réduit k Xi{i = i, 2, ..., 2p — i) quand on y remplace x^j, par x^^p^ ^2p+i V^^ ^^ip+v ■••> ^n P^r ^'^n' ^^2p^ x^2p+iJ ..., x^^^ étant un système de constantes numériques. Si l'on prend pour nouvelles variables Mj, m^, ..., U2p i, x^^^ ..., x^., on a vu plus haut que l'on a une identité de la forme
Xidxi = K [Ujc/M] + UjO^Mg + ••• 4- ^ ip-idu2p-i\i
Ui, Ug, ..., U2P-1 ^^ dépendant que de u^, m.,, ..., «gp-i-
Le facteur K n'est pas complètement déterminé, car on peut le
diviser par une fonction arbitraire de m^, u^, ..., «op-j' ^ condition
de multiplier les coefficients Ut par la même fonction.
On peut profiter de cette indétermination pour supposer que ce
facteur se réduit à l'unité quand on fait x^p = x^^p, . . ., x^^^x^^ ;
en efl'et, s'il se réduit à une fonction <}(ai, m,' •••' '^2p-y)i il suffira
de le diviser par 'h. Ce facteur K étant choisi de cette façon, faisons
maintenant
^yi Y'O nn — — — nr>"
dans l'identité, précédente ; on a dx^p = o, ..., dx^ = 0 et «1, ..., M2j,.i se réduisent respectivement à x^, X2, ..., Xtp^i- Cette identité devient donc
^ Xi{xu...,x^p-.i,x\p, ...,x\)dxi= ^ Vi{x„...,X2p,)dxi. On a donc
Ll/(«33i, X%^ ..., ^op— i) ^~~^ ^iyp^i^ "^2 5 •••) '^•jip—i. J ^ 230' ••M <^ n/'
OU encore
Uj(a^, «2) •••) f^2p—i) = X/(tti, Ui, ..., u^p^i 't X 2pi • ■ • 1 X ^
CBAPITRE I. — FORMES CAJiONIQUES. 47
ce qu'on peut exprimer comme il suit: La nouvelle forme ««>, j, obtenue après la première transformation,
«^îp-i = Ujf/a, + ... + U,^i</«jj,i ,
se déduit de la forme
Xidxi + . . . + X2p, </xjp j
en y remplaçant xi par m {i=ï, 2, ..., 2/î — i), x^^ par x\^, ....x„parx\.
De même, si w est une forme de classe 2/) -f- i, le svstème S3 admet 2/) intég-rales distinctes, et on peut supposer que j:,^^^, ...^Xn ne sont pas des intégrales de ce système. Soit, comme tout à l'heure Ui une intégrale du svstème S3 se réduisant à xi pour x» ^.j = ^""ïp+i» . • .', Xn = x'^nii= 1,2...., 2/)). Si Ion prend pour nouvelles variables m,, a,, ...,Ui^,Xij,^^, ..., Xn, on est conduit, comme on la vu au n'^5 , à une identité de la forme
y Xidxi = du -h Vidui + . . . + U,prfajp,
ï-iî ï-2, ..., Uip ne dépendant que des variables Ui. f/j, ..., m, .
La fonction U n'est pas complètement déterminée, car on peut lui ajouter une fonction arbitraire de u^. ...,«2^, à condition de modifier convenablement les coefficients U,, et on peut profiter de cette indétermination pour choisir la fonction U de façon qu'elle soit identiquement nulle quand on y fait a?^^^^ ^ x**^ ^.j. ...,
Xfi ^^^= X^n-
Si l'on remplace maintenant Xip^^, ..., j?„ par les constantes
numériques a^-,^j., x^'n dans les deux membres de l'identité
précédente, elle devient
2 Xiixi, ..., j?2p ; o^sp+i, ..., x^n)dxi = V L7(j?i, ..., x^^^dx,,
et on en conclut comme plus haut que la forme de Pfaff.
*^ip = ^idui + Vidui + . . . + Ujprfoj/
obtenue après la première transformation, se déduit de la forme
y^^dx^ -I- ... -I- Xjprfxj,
en y remplaçant x^ par Ui, ..., x^,^^ par u^^, iCj^+i' P'^"^ ^^'zp+i^ ■■•■> Xn par x^'n . ,
On verra un peu plus loin (Chap. II, n» 18) une application importante de cette propriété.
11. Rang d'une intégrale de 82- — Nous allons maintenant exposer des méthodes de réduction qui exigent beaucoup moins d'intégrations que la méthode générale qui précède. On peut les rattacher dune façon très simple à la notion du rancf d'une intégrale du système So. Nous démontrerons d'abord un lemme sur les systèmes d'équations aux diflerentielles totales. Soit
(24) Andx^ + Aiarfj?, + ••• + AindXn = o (« = I, 2, ..., m)
un système de m équations aux dilï'érentielles totales, comprenant r équations linéairement distinctes (r <^ m), formant un système complètement intégrable. Pour que x^ soit une intégrale de ce système, il faut et il suffit que les équations obtenues en remplaçant x^ par une constante et dx^ par zéro dans les équations (24), se réduisent à r — 1 équations distinctes.
En effet, si les équations (24) forment un système complètement intég-rable de /* équations seulement, dont x^ soit une intégrale, ce système est équivalent à un système de la forme
df = 0, ..., dfr—i = o, dx^ = o,
et le premier membre de l'une quelconque des équations (24) est une combinaison linéaire de df\, df^, . . . .^ dfr—-^. ,dx ^ . Ce système ne contient donc que r — i équations distinctes quand on y remplace x^ par une constante, et dx^ par zéro. Inversement, si les équations (24) se réduisent k r — i équations distinctes quand on y fait Xy = C, dx^ = o, il faut évidemment que les r intégrales distinctes /'j, ■..,fr du système (24) se réduisent à r — i fonctions distinctes quand on suppose x^ constant, c'est-à-dire que .x'i soit une fonction de ces r intégrales.
Cela posé, soit w une forme de Pfafî
^ Xidxi ;
