CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUIS
si l'on remplace dans cette expression jîj par une constante, d'ailleurs quelconque, on doit remplacer dx^^ par zéro, et la'nouvelie forme de Pfaff
&>(*)= Xjrfjîî -r ... + XndXn,
où J?j est rearardé comme un paramètre dans X», ..., X", peut être d'une classe inférieure à celle de &>. Cherchons d'abord dans quels cas cela peut arriver. Soit c la classe de &> : c'est aussi le nombre des équations linéairement distinctes du système Sg,
ttiidx^ + ■•• + aindxn = o, {i = I, 2, .,., n),
+ ... 4- XndXn = 0.
La classe c^*^ de «(*) est de même é|»ale au nombre des équations linéairement distinctes du système
' ) X^dXi^
(1) { c/cidxs + ... + ttkndxn = o, (Ar = 2, 3 ,..., n), - \ X^dXi + ... + Xndxn = o ;
Ce nombre c'*) est au moins ég'al à c — 2. En eflet, si Ion avait par exemple c'*) ^ c — 'i, le système obtenu en faisant dx^^ = o dans les équations de Sj comprendrait au plus c — 2 équations distinctes, puisqu'on obtient ce système en adjoignant «ne équation au système S^'i). Or ceci est impossible, puisque, par hypothèse, le système Sj se compose de c équations distinctes. L'abaissement de la classe, quand on passe de w à <u'*', est donc au plus de deux unités.
Il y a certainement un abaissement de la classe si x^ est une intégrale du système S*. Dans ce cas, en effet, d'après le lemme. précédent, les équations obtenues en faisant dx^ = o dans les équations de ce système se réduisent à c — i équations distinctes. Les équations du système S»'^, qui font partie des précédentes, comprennent donc au plus c — i -équations distinctes. Pour démontrer la réciproque, nous examinerons séparément les formes de classe impaire et les formes de classe paire.
/*"■ Cas. — Soit o> une forme de classe 2/> + i. Le système S? contient 2/7+1 équations distinctes, tandis que, par hypothèse, le système Sj(i' en contient seulement 2/) — i ou 2/>. Si S^^^) ne contient que 2/> — i équations distinctes, le système S/*)
(Si(i)) a^îdXf -f . . . + akndiCn=o, (A- = 2, 3, . . ., n), G. Leçons. 4
50 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.
qui comprend toujours un noxahve pair d'équations linéairement distinctes, se réduit forcément à un système de 2p — 2 équations linéairement distinctes. En faisant dx^ = o dans les équations de Sj, le système obtenu contiendra donc moins de 2/) équations, et par suite x^ est une intégrale du système S^. Inversement, si x^ est une intég-rale de Sj, le système S^'*), qui contient moins de '2p équations distinctes, en renferme up — 2, et le système 82'^* en contient zp — i .
Supposons en second lieu que le système 82^^' contienne 2p équations distinctes ; le système S^O en contiendra lui-même 2p. La forme w(i> étant de classe paire, la dernière équation de S,'*) est une conséquence des équations de S^<i). Il en est de même de l'équation
ai^dx2 + . . . 4- ttindXn = o.
En effet, puisque les formes linéaires a^dx^ + ... -|- aindxn, où « > I, sont des combinaisons linéaires de 2/> d'entre elles, les formes linéaires andxi + a^dx^ + ... -\-,aindxn, où « > i, comprennent au moins 2/> formes linéairement distinctes ; elles ne peuvent en contenir davantage, puisque le système S^ ne comprend que 2p formes linéairement distinctes. Il en résulte que l'équation
a^^dx^ + . . . 4- amdxn = o
est une conséquence des n — i dernières équations de S^ et, • comme elle ne contient pas dx^, elle est une conséquence des équations de S^(i). Le système obtenu en faisant dx^^ = o dans les équations de S2 se réduit donc à 2/3 équations, et par suite x^ est une intégrale de S,, mais ce n'est pas une intégrale de Sj, comme on vient de le voir. Dans le cas actuel, S^ est identique à S3, et on peut énoncer la proposition suivante :
Etant donnée une forme w de classe 2/> + i, pour que la classe de la forme w(^), déduite de tù en y remplaçant x^^ par une constante quelconque, soit inférieure à 2 p -\- i, il faut et il suffit que x^ soit une intégrale du système Sg. Si x^ est une intégrale de Sg sans être une intégrale de S3, w(i) est de classe a/) ; si x^ est une intégrale de S3, w(i) est de classe 2/3 — i.
