x,,^,{X,dx, + ... + XJx,) + dx
ou
x,.^i est une variable distincte de Xu a?,, •••, x„, est alors de classe 2/> 4- I, tandis que la forme
û(i) = 0^,^, (X,rfx, + . . . + X,c/x„) + rfx.+,
est de classe 2/) ou 2/> — i (Voir n» 7. Remarque).
Cela étant, appliquons le résultat qui vient d'être établi pour les formes de classe impaire à la forme fi D'après ce résultat, pour que o(i) soit de classe inférieure à 2/) 4- i, il faut et il suffit que x^ soit une intég-rale première du svstème ï^, analogue à S,, pour la forme a ; ce svstème e^t ici
ai^dx^ 4- . . . + ttindxn =0. (i = I, 2, ..., n) X,dx^ + . . . 4- Xndxn = o,
la variable auxiliaire a?,^i ne tig-urant que dans la dernière équation, pour que Xi soit une intégrale de ce système, il faut et il suffit que Xi soit une intégrale du svstème formé par les n 4- i premières équations, c'est-à-dire du système S,.
Pour que m<1) soit de classe 2/>— 2, il faut et il suffit que ii(»)soit de classe 2^ — i , et par suite que Xi soit une intégrale du système S3 analogue à S3 pour la forme a ; ce système est ici, puisque w est de classe paire,
a/i</j?t 4- ... 4- aindxn dxn~\
c'est-à-dire qu'il est identique au système S3 associé à la forme w, SI l'on fait abstraction du dernier rapport où ne figure que la variable auxiliaire.
La conclusion est la même que pour les formes de classe
impaire ; et, d'une manière g-énérale, la classe s'abaisse d'une unité quand on passe de m à w(i> si Xi est une intégrale de Sg {sans être une intégrale de S.,), et de deux unités si Xi est une intégrale de S3.
Nous dirons dans le premier cas que Xi est de rang un, et dans le second cas que Xj est une intégrale de rang deux.
Ces propriétés sont faciles à vérifier sur les formes canoniques. Soit
'"sp+i = -^i^^i + ••• + Zpdy^ + dgp+i ;
si l'on remplace //^^^ par une constante, la nouvelle forme est de classe 2p. La classe s'abaisse de deux unités si l'on remplace y i ou Si par une constante ; si l'on suppose par exemple zi = C, on peut écrire dy^^^ -\- Ctdyi ~ d{y^^^ + dyi) et, au lieu de trois variayi, Si, y^^i, on n'en a plus qu'une y^.^^ + Cigi.
Prenons encore une forme de classe 2p. Si l'on suppose yi = C, la classe s'abaisse de deux unités ; elle s'abaisse d'une unité seulement, si l'on suppose 5/ =r::C. Mais elle s'abaisse aussi de deux
unités si l'on suppose le rapport — ég-al à une constante C, car on
peut alors écrire
2,dy^ -f 5.2C///2 = s^d(yi + C^.),
et, au lieu de quatre variables y^, y^, s^, 5-2, on n'en a que deux, x^^ et^i +C//2.
12. Nouvelle méthode de réduction. — La propriété précédente des intég-rales du système S3 conduit à une méthode de réduction plus simple que la premièi'e. Soit
M =Xidx^ -^ ... -\- X,,dx„
une forme de classe 2/) + i. Supposons que l'on ait obtenu une intég-rale Mj du système S, correspondant ; si l'on fait un changement de variables de façon que «i soit une des nouvelles variables indépendantes, en prenant par exemple pourvariables, «1,0^2, ..., x^, l'expression de w devient
CBAPITRE I. FORMES CANO.NIQIES. 53
Uj, Xs^*), ..., XJi) étant des fonctions des variables Mj, x^, ..., a?„. D'après ce qui vient d'êti-e démontré, la forme
u^W = X.mdx. + ... + X,a)rfa;„,
où «1 est resrardé comme un paramètre, est de classe 2/> — i . Soit Ui une intégrale du système de Pfaff correspondant S3<'), qui est d'ordre 2/) — 2 ; cette intégrale dépend des variables x^, ..., Xn, et aussi en g'énéral de «j qui y fig-ure comme paramètre. Prenons pour nouveau système de variables «j, x^, ..., Xn, au lieu de (Xj, ...,j?„); il faudra pour cela poser
J?.2 =J\Ui, Ui, j-g, ..., Xrt).
En faisant ce changement de variable dans la forme w elle-même, on doit remplacer clx^ par
et w devient
«= U,'i'</«, + U,(i'^«, + X3'-2'c^j-3 + •..-[- X„(-2)rfx,,
tandis que w'*' a pour nouvelle expression
.,(1) = Uj'1V/m, + X3<2)rf^3 -[-...+ X«(9)rfx„.
Si dans cette forme &j<*' on regarde î/j comme constant, ainsi que «,, la forme
«(2) = X3«-2)ctr3 + . . . + X„(2)</.r„,
où Mj et «2 ne figurent que comme paramètres, est de classe ^p— 3. Soit u.^ une intégrale du système Sg^-) correspondant, qui est d'ordre 2/) — 4- L'i nouveau chaueremeiit de variables permet d'écrire w sous la forme
OÙ w'^3) est une nouvelle forme
qui est de classe 2/> — 5 quand on regarde «i, ?/2, «g comme des paramètres dans les coefficients. En continuant ainsi, au bout
de p transformations de ce genre dont chacune diminue la classe de deux unités, on aura pour w une expression de la forme
«1, U2, . . . , Up étant p variables indépendantes, \Ji^P\ .. . . , Uy'/')des fonctions de ces p variables et de n — p variables Xi, et m^P) une forme de classe un, quand on y reg"arde ii^, ..., u^ comme des paramètres. On a donc
JP)= d\ — (—du,+ ... +~du^,
la fonction V se déterminant par une quadrature, et on voit qu'en modifiant un peu les notations, l'expression obtenue pour w peut s'écrire
w = z^diji + 22^1/2 + . . . + Zpdijp -f c^y^+i ;
la forme m se trouve ainsi ramenée à une forme canonique, et cette réduction exige les opérations 2p, 2.p — 2, ..., 2, et une quadrature, avec des changements de variables.
La méthode est la même pour une forme de classe ip.La réduction à une forme canonique exige les opérations ip — i, 2/> — 3, ..., 3, I, et des changements de variables.
On a intégré par là-même les systèmes S3 et Sj relatifs à la forme &>. Nous avons supposé, pour simplifier, que dans chaque changement de variables, on conservait toutes les variables indépendantes Xi, sauf une, qui figuraient dans la forme d'où l'on part. Mais il est clair que cette hypothèse n'est nullement nécessaire ; l'essentiel est de prendre une intégrale du système Sgi') auquel on est parvenu pour l'une des nouvelles variables. Remarquons encore que, quand on passe d'une forme «(') à la suivante, la classe diminue de deux unités, mais le nombre des variables qui figurent dans la nouvelle forme n'est pas forcément égal à la classe, comme il arrivait dans la première méthode de réduction.
Exemple I. — Reprenons la forme considérée plus haut
w = x^x^dxi + XiX^dx^ + {x^ + XiXi)dXi + x^Xndx^ qui est de classe quatre. Dans la nouvelle méthode, on n'utilise qu'une
