CHAPITRE I. — FORMES CA.NONIQrES
des intégrales du système S3 ; posons, par exemple, j?, = J^sU,. L'expression de w devient
w = UyX^-dxt + JCîXiUidœ^ + j?, (u, -{-œi)dx^ + a:,ar^rfa;e,
d'après la théorie générale, si on considère «1 comme un paramètre, cette forme w est de classe deux, et par suite l'équation obtenue en l'égalant à zéro est complètement intégrable. On vérifie en effet immédiatement que l'on a
= x^ I u^XiX^ + x^Xi -^ u^x^ \,
en regardant toujours u, comme constant, et par conséquent, si l'on considère aussi a, comme variable,
w = x^d \ u^XtX^ + x^Xi 4- u^x^ \ — x^{x^ + XiX3)du^ :
au moyen des variables primitives, w aura l'expression
w — x^d 5 ~^ -f XiX^ + X1X2 [ — (x^Xi + XiXi*) d( — ),
un peu différente de celle qui a été obtenue plus haut (no 9, Ex. I),
Exemple II. — Soit
w = x^dxi + XtdXi + Xi/dx3 + x^dXi + x^dxi
qui est de classe cinq (no 9, Ex. III). On a vu que .rj — a?, était une intégrale de S3 ; posons 0*1 =: x-2 -{- Ui. La forme w devient
w = x^doi -j- w<'>, où
oj») = f«, -i- 072 -f x.^dxt -j- 072^^3 + a?,rfa?4 + aj^eteg.
Conformément à la théorie générale, la forme w<') est de classe trois, quand on y regarde «1 comme une constante, et le système Sa"» correspondant admet les deux intégrales x^ — j?., j?. — x^. Pour continuer l'application de la méthode, posons x^ =. x% -{- 1/2 ; w'*' devient
&)(*> =. Xfdui + &!<*>, où l'on a posé
wW = («1 -j- j:-, -f jîj 4- Xi)dx2 + xarfj:?» + (o^î + Ui)dXi.
Cette forme w<*> est bien une différentielle exacte
d l h X2X3 -f- a^jXj + X2«i + XjUâ ),
quand on regarde Ui et u^ comme des paramètres, et, si «i et Ui sont considérés comme des variables, on a
w<*) := d ( — ^ + x-îXs + cczx^ 4- x^Ui + œ^u^ I — Xidut — x^^du2. En remplaçant «i et «2 par leurs valeurs, on trouve successivement
w(2) =z d XiX^ + ^4^3 + XiX^ + Xid {x-i — X]) -\- x^d{x2 — x^)y
wH) z= w(*) + Xzd{Xi, — J72\
et enfin
w =: w(2) -|- .Tgrf(a?i — X^) + 0^30? (0^4 — Xi),
ou
w = a I aîiXs + Jî^a;., + XiX^ I
+ (^2 — x^)d{Xi — a?,) + (a?3 — x^)d{Xi — jj^).
Une forme w, de classe supérieure à un, peut être mise d'une infinité de manières sous forme canonique ; connaissant une de ces formes canoniques, on peut en déduire toutes les autres par une transformation de contact {Leçons, chap. X, n"^ 18 ei 80).
Exercices
Ramener à une forme canonique les expressions suivantes : XiXidXi + .r3(.x'i + Xi +'Xi)dxy + Xi(xi + .T3 + 3:i)dx-i + x^x^dXi
{X2 + Xs)dXi + {X3 + X^}dX2-\- {Xi + X.^)dX3 +
{Xs + Xs)dXi + (a?6 + xi)dx., + {xi + x-2)dxay x^dXi + a>3 + dXi,X/,dxz + x^^dx^ + .e^dx^ + Xidxg, Xidxi -\- 2Xidx-2-{- x^dx3-\- zx^dxi Xi^dxi -{- X:i^dx2-^ 'i'i^dx2
