CHAPITRE n

INTÉGRATION D'UNE EQUATION DE PFAFF

13. Classe d'une équation de Pfaff. — Quand on multiplie une forme de Pfaft" ',> par un facteur K. fonction des variables qui figurent dans ro, pouvant aussi renfermer d'autres variables, la classe de la nouvelle forme Kw peut être ég^ale, supérieure ou inférieure à celle de w. On le voit immédiatement si « est ramené à une forme canonique ; si w est de classe paire 2/> et a pour forme canonique s^dy^ + ... + s^di/p. il est clair que la forme K[z^di/^ 4- ... 4- Spdyp) est au plus de classe 2p, mais elle peut être de classe inférieure à 2p. si l'on prend par exemple K = . Si '.> est

de classe 2/> + i, et a pour forme canonique s^dl/^ + ... -i- ~pdi/^ + dy^j^^, il est évident que la ïovmeK z^dy^ 4- ... -f- z^dy ^ -f dy^^ est au plus de classe ip -\- 2. quelque soit le facteur K. Il résulte de" là que, quel que soit K, la classe de K'>j ne peut dépasser la classe de r>j de plus d'une unité, et cela ne peut avoir lieu que si '.^ est de classe impaire.

La classe de Kw ne peut non plus être inférieure de plus d'une

unité à celle de &>. car la multiplication par^rautrmenterait la classe de Kw de plus d'une unité.

Nous appellerons classe de l'équation w = o la classe de la forme Kw qui est la plus petite possible quand on prend pour le facteur K une fonction arbitraire différente de zéro. Cette classe y est toujours un nombre impair. Eu effet, si Kw est une forme de classe paire, ayant pour forme canonique

^•> = -idy^ -!-...+ s^dyj,, — w sera une forme de classe impaire zp - i .

58 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

Puisque la classe de « ne peut diminuer de plus d'une unité quand on donne au facteur K toutes les formes possibles, il s'ensuit que si M est une forme de classe impaire 2/> + i, la classe de r équation w = o est égale à la classe de la Jorme w elle-même, y = c.

Au contraire, nous avons remarqué tout à l'heure qu'en multipliant une forme de classe paire 2/> par un facteur K convenablement choisi, on abaisse la classe. Par suite, si w est une forme de classe paire 2p, la classe de l'équation m = o est égale à 2.p — i, Y = c — I.

Si on écrit la classe y ^ 2m + i, le nombre m est ég-al à p pour une forme w de classe impaire 2/54- i, et à/> — i par une forme de classe paire ip.

Pour trouver toutes les multiplicités intégrales d'une équation de Pfaff w = o, il est évident que l'on peut multiplier le premier membre par une fonction arbitraire K des variables qui y figurent, et il est naturel de choisir ce facteur K de façon que la nouvelle équation Kw = o renferme le plus petit nombre de variables possibles. C'est ainsi que la notion de classe d'une équation de Pfa^ s'introduit d'elle-même dans la question.

Le nombre m + i = J-i — est égal au plus petit nombre de différentielles que Ton puisse laisser dans l'équation t» = o par tous les changements de variables possibles. En effet, supposons que, par un changement de variables convenable, on ait mis w sous la forme

(l) w = Ij\c/Mi + . . . + VrdUr,

aucun des coefficients U/ n'étant nul. Il est clair que l'équation w = o est équivalente à l'équation

du^ -\-~du2 -h -.. +Yf ^"'■

dont la classe est au plus 2r — i. On a donc y -^ 2r — i, et par suite r ^ "^ ' .

Nous dirons qu'une équation ^ = 0 est ramenée à la forme cano-