CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DE PFAFF

nique lorsque, dans cette équation, ne fiçurent que i-lL — =m + i

diflférentielles, y étant la classe de cette forme. Si, par un changement de variables convenable, on a mis &» sous la forme

(2) « = ^,dy^ + . . . -\-\\dy„, + Y„^.,</y^+^,

l'équation w = o peut s'écrire, en divisant tous les coefficients par Y

(3) Zidy, + . . . + z^dy^ + dy„,+^ = o

et l'on est ramené dans tous les cas à résoudre une équation w :^ o, où &> est une forme canonique d'ordre impair.

Pour ramener une équation de PfafiF donnée w^oàla forme (3), où le nombre m a la plus petite valeur possible, nous avons encore deux cas à distinaruer, suivant la parité de la classe de u.

/*'■ Cas. —^ Supposons que w soit de classe paire 2/> ; on a dans ce cas V = op — I. et par suite m + i =/>, de sorte que le problème revient à mettre une forme de classe paire 2p sous la forme

Y.dyt + . . . + Yp^/^p,

c'est-à-dire à mettre w sous forme canonique.

2« Cas. — Soit w une forme de classe impaire 2/> -|- i ; on a, dans ce cas, v = 2p + i, et par suite m + i =/> + i, de sorte qu'il s'aarit de ne laisser dans l'expression de « que p + i différentielles. On a une première solution de ce problème si on a mis w sous forme canonique

'M = s,dy^ + . . . + s^dy^, + dy

mais ce n'est là qu'une solution particulière, où le coefficient d'une

des différentielles est égal à l'unité.

D'une façon générale, si la forme &> de classe 2p -\- i ne renferme dans son expression que /> + i différentielles

(4) » = Y^dy, -f- . . . + Y^dy^ + Y^^.dy^^^,

60 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

il est clair que

Y, Yp

forment un système de 2/? + i variables distinctes, car autrement l'équation w = o serait de classe inférieure à 2/) + i ; cette équation est donc ramenée à la forme (3) où m=/). En résumé, si w est de classe impaire 2p -\- i, pour ramener l'équation w = o à la forme canonique (3), il n'est pas nécessaire d'avoir ramené w elle-même à une forme canonique. // suffit d'avoir ramené w à une expression où ne figurent que p + i différentielles, les coefficients de ces différentielles pouvant être quelconques.

Pour bien saisir cette distinction entre les deux problèmes, considérons une form? à trois variables

où Xi, X2 sont des fonctions quelconques des trois variables

Pour ramener (,> a une forme canonique, il faudrait intégrer le système S3, qui est ici

dxi — dx^ dxy