CHAPITRE 1. --- FORMES CANONIQUES

Dans le cas de l'équation à trois variables, non complètement intégrable,

dx^ — X3 dxi = o

il n'existe pas d'intéarrale à deux dimensions ; les seules intéorales sont des courbes. Si a?j n'est pas constant pour une courbe intégrale, on peut prendre x^ pour la variable indépendante, et les formules

OÙ f{x^) est une fonction arbitraire, représentent une de ces courbes. Il existe, en outre, une famille de courbes intésrrales dépendant de deux constantes arbitraires, définies par les relations

Pour faciliter les énoncés, nous appellerons élément linéaire dans l'espace à n dimensions l'ensemble d'un point (x^, aîj, ...,a;^) et d'une direction {dx^. dx^. ..., dx^) issue de ce point. Un élément linéaire est dit un élément linéaire intégral de léquation w :^ o lorsque x^. Xi a?,,, dx^^, dx,, ..., dx^ vérifient la relation l'i). Chaque point d'une multiplicité M„p définie par les p équations (3) est l'origine d'une infinité d'éléments linéaires situés sur cette multiplicité et qui vérifient les relations

dfi = o- d/^ = o dfj, = o.

Si M,.^ est une intégrale de l'équation de Pfaff w ^ o. tous ces éléments linéaires sont des éléments intégraux, et réciproquement. Dans la suite, tout élément linéaire issu d'un point déterminé sera désigné seulement par Tune des notations (dx^, dx^, ..., dx^).

Pour Euler ('), une équation aux diÉFérentielles totales

P(x, y,s)dx-{-Q{x,i/,s)dy + R{x, y, s)ds=o

n'avait aucune signification, lorsque la condition d'intésrrabilité n'est pas vérifiée. Monge (*) fit remarquer cependant qu'on ne

(M Insl. Calculi Integralis. Vol. Ul, Part. I (1770), p. 5.

(*) Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris (178^), p. 535.

pouvait considérer cette équation comme absurde, puisqu'il était possible d'y satisfaire d'une infinité de manièi'es en prenant, pour X, y, z des fonctions d'une seule variable indépendante. Mais le problème a été posé pour la première fois dans toute sa généralité par J. F. Pfaff dans un Mémoire classique ('), où il a montré que toute équation aux dififérentielles totales, contenant an ou 2/1 — i variables, admet toujours des multiplicités intég-rales dont le nombre des dimensions est au moins ég-al à n ou à n — i. La méthode employée par Pfaff" exig-e les intég'rations successives de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. Cette méthode a reçu depuis lors de nombreux perfectionnements, dont les plus importants sont dus à Gauss, Jacobi, Natani, Clebsch, Grassmann, Frobenius, Darboux, etc.

On trouvera un historique très complet de la question dans le Traité de Forsyth (Theory oj diff&rential équations^ Part I, p. ,80, 1890), et au début d'un important Mémoire de M. Cartan dans les Annales de l'Ecole normale supérieure, 3^ série, t. XI, 1899, p. 289.

2. Changement de variables. — Toute expression de Pfaff" w = X^c^ajj + X^dœ^ + . . . + Xndxn peut être mise sous une infinité de formes différentes, au moyen d'un changement de variables. Soient

(6) Xi = ^i{y^, y^, ..., yn) (i = 1 , 2, ..., n)

n fonctions 9,, 9,, ..., cpn dont le iacobien . 'y*' '^^' ■••' ^^^ n'est pas

identiquement nul ; les formules (6) définissent une transformation ponctuelle faisant correspondre un à un les points de l'espace (x^, x^, ..., Xn) et de l'espace {y^, y^, ..., z/«), ou tout au moins les points de deux domaines D^ et Dy suffisamment restreints des deux espaces. A un élément linéaire {dy^, dy^, ..., dyn) de l'espace

(') Methodus generalia ,œquationes dijferentiarum partialium,necnon œquationes differentiales vulgares, utrasque primiordinis, inter quotcumque variabiles, complète intefjrandi (Abh. der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 76-136, i8i4-i8i5).

CBAPITBE I. — FORMES CANONIQUES. 7

(yi' ^2' •••' y«) correspond un élément linéaire {dxi. dx^, ..., dxn) de l'espace {x^, x^, ..., x„), pour lequel on a

(7) dxi = ^dy, + ... 4-^rfy„ ^i= ^^ ^^-^ «)•

Si l'on remplace, dans la première forme w, les variables Xi et leurs difiFérentielles par leurs expressions (6) et (7), il vient

(8) V Xidxi = \\dy^ 4- Yjrfy, + . . . + Yndyn, 1=1

où l'on a posé

et où l'on suppose naturellement qu'on a remplacé 0*1, ..., Xn par les fonctions 7^, ç:^, ..., çn dans les seconds membres. Les deux formes de Pfaff

y Xidxi, V ^''^^"

se ramènent donc l'une à l'autre par un simple changement de variables, et nous les regarderons dans la suite comme deux expressions dififérentes d'une même forme. Il est évident que les multiplicités intégrales des deux équations

V Xidxi = 0, 2 Yidi/i = o,

se correspondent par la transformation ponctuelle (6), de même que les éléments linéaires intégraux se correspondent un à un par la transformation linéaire (7).

Nous allons montrer dans les paragraphes suivants que 1 on peut choisir les fonctions ç; de façon à ramener toute expression de Pfaff w à une forme canonique particulièrement simple. On peut

remarquer tout de suite que, si l'on a choisi les fondions o; de façon que les équations

yi=c„ ..., y,,-i = G

représentent une famille de courbes intégrales (ce que l'on peut faire d'une infinité de manières), la nouvelle équation devra être vérifiée quand on remplacera l/^, i/.^, ..., 1/^-1 P^^" t^es constantes quelconques, et par suite le coefficient Yn sera nul.

Le principe de la méthode de Pfafï pour résoudre l'équation (x) = o consiste à chercher d'abord un changement de variables permettant de remplacer cette équation par une équation de même forme où fig'ure une variable de moins. Pour que l'équation

Y^dy^ 4- ... + Yndi/n= o,

obtenue par le chang-ement de variables (6), ne renferme que les n — I variables z/^, y^'i •••' Un—i^ P^^ exemple, il faut et il suffit que Y,j soit nul, et en outre que le rapport de deux quelconques des coefficients Y;, Y/^ [i <i n, k <^ n) soit indépendant de i/n. On peut écrire ces conditions

(10) Y„ = o, ^=[xY/, /<n,

jj. étant une fonction ou une constante que nous laisserons indéterminée pour le moment. En remplaçant Y^, Y.^, ..., Y,; par leurs expressions tirées des formules (9), on obtient un système de n équations aux dérivées partielles, l'une du premier ordre, les autres du second ordre, auxquelles doivent satisfaire les fonctions <fi, 92» •••' ?«• Mais, pour l'objet que l'on se propose, il est inutile d'avoir l'intég-rale générale de ce système, il suffît d'en connaître une solution particulière.

Nous allons d'abord montrer qu'on peut remplacer le système (10) par un système équivalent où ne fig-urent que les dérivées du premier ordre des fonctions inconnues. De la première des équations (10),

Y„ = yx/,^=o,