CHAPITRE II. INTÉGRATION d'iNE ÉQUATION DE PFAFF. Gl

deux en g-énéral, et on peut la mettre sous la forme ii^du^ par ua chang-ement de variables, pourvu qu'on ait intégré l'équation différentielle w'^) = o, où x^ est traité comme une constante. Le même chang-ement de variables appliqué à la forme w conduira à une expression où ne fig-urent que deux différentielles dx^ et f/a^. Ce procédé se rattache à la méthode g-énérale du parasrraphe suivant.

14. Caractéristiques. — Dans l'étude d'une équation de Pfaff, le système caractéristique S^ défini plus haut (n** 7) joue le même rôle que le système de Pfaff" 83 dans l'étude de la forme de Pfaff elle-même. Ce système S^, qui coïncide avec S3 si la classe de w est un nombre pair, et avec So si la classe est un nombre impair, s'obtient en écrivant qu'un élément intég-ral (dx^, dXo, ..., rfxj est en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux. Il est évidemment le même pour une forme w et pour une forme Kw, quelle que soit la fonction par laquelle on multiplie la forme w ; c'est une conséquence immédiate de sa signification. C'est aussi un covariant de w relativement à tout changement de variables. On peut donc dire que le système caractéristique S^ est un covariant de /'équation de Pfaff i^i = o, quand on effectue un chang-ement de variables quelconques, et qu'on multiplie le premier membre de l'équation par un facteur quelconque. Nous avons vu (no 7) que ce système est complètement intég-rable, et il se compose d'un nombre impair d'équations, qui est précisément égal à la classe v de l'équation w = o. Nous dirons, pour abrég-er, que toute intégrale du système S4 est une variable caractéristique II y a donc v variables caractéristiques distinctes pour une équation de classe V.

Si une équation de Pfaff, de classe y, a été ramenée à une forme canonique, /es y variables qui y figurent sont des variables caractéristiques. Les variables qui fig-urent dans une équation de Pfaff sont les variables qui fig'urent sous le signe d, et les rapports de deux coefficients quelconques des différentielles.

Supposons, en effet, qu'une équation de Pfaff', de classe y = 2m -\- I, ait été mise sous la forme

^idyi 4- ... + s^dy„^ + dy„^^, =0;

pour cette forme canonique, le système caractéristique S^ se compose des 2m -\- I équation

dy^ — o, ..., dij^^^ =0, dz^ = o, ...,dz^= o.

Les fonctions i/i, Zk des variables Xt sont donc des intégrales du système caractéristique, quelles que soient les variables au moyen desquelles on exprime la forme w. Si une équation a été ramenée à une forme canonique, on en déduit donc immédiatement l'intég-rale g"énérale du système caractéristique. Gela posé, pour ramener une équation de PfaffM = o de classe 2/n + i, à une forme canonique, on peut procéder comme au n** 12 pour ramener une forme de Pfaffk une forme canonique; il suffit de remplacer le système de Pfaff S3 par le système caractéristique S4. Les deux calculs sont d'ailleurs identiques si w est de classe paire, car alors dans ce cas S3 et S4 coïncident pour la forme w, et pour toutes les autres formes que l'on rencontre dans le calcul.

Soit, dans le cas g-énéral, Mj une intég-rale du système caractéristique S4 ; si on prend pour variables m^, a?.,, ..., as^^, l'équatiou de Pfaff s'écrit

O) =Uft/«i + X,(i)rf^2 4- ... + X^(^)dx„ = \]^du, + w(i) = o.

L'équation a)(i) =0 est de classe im, — i quand on y regarde u^ comme un paramètre. La propriété est immédiate si la forme w est de classe paire 2/>, car S^ coïncide avec S3, la forme w est de classe 2.p — I, et w(i) de classe 2/9 — 3. Si la forme w est de classe impaire 2^+ i, la forme w(i^ est de classe 2p ou 2p — i, puisque S^ coïncide dans ce cas avec Sg, et l'équation w(i) = o est de classe 2/) — I. En déterminant ensuite une intég-rale du système caractéristique relatif à w(i)=o, et ainsi de suite, on démontre comme au n" 12, qu'on arrivera à mettre l'équation w = o sous une forme où ne fig-urent que m -\- i différentielles, c'est-à-dire à une forme canonique.

Si par exemple w est une forme de classe impaire 2m -|- i, où ne figurent que zm -f i variables, toutes ces variables sont des intégrales du système caractéristique, et en écrivant l'équation

X^dx^ -f to(i) = o,

l'équation w(i)= o, où l'on regarde x^ comme un paramètre, est

CHàPITRE II. — INTÉGRATION d'lNE ÉQUATION DE PFAFF. 63

de classe 2m — i. C'est la g-éoéralisation de la remarque qui termine le paraarraphe précédent.

Remarque. — On peut aussi comme plus haut (n» 11) ramener une forme m de classe impaire 2p -\- i k n variables à une forme £1 =. «ï'jj , ^w + <'-c„a.j de classe paire. Si 11 a été ramenée à une forme canonique, avec p -{- I différentielles, il suffira d'v remplacer ^^^^ par une constante pour avoir l'équation w = o sous forme canonique.

Soit w une forme à n variables, telle que l'équation u> = o soit de classe y : en égalant à des constantes les y variables caractéristiques, on obtient les équations d'une famille de multiplicités à n — y dimensions dans l'espace à n dimensions

telle qu'il en passe une par chaque point de l'espace (Xj, ..., Xn)- Ce sont les multiplicités caractéristiques de l'équation w z^o.

Si n est pair, y étant impair, il y a toujours des multiplicités caractéristiques à un nombre impair de dimensions. Si n est impair, il y a des multiplicités caractéristiques à un nombre pair de dimensions, lorsque oj est une forme exceptionnelle, où le nombre des variables dépasse la classe ; si w est une forme ordinaire, il n'y a pas de caractéristiques.

15. Intégration d'une équation canonique. — Toutes les multiplicités intégrales de léquation -.j = o de forme canonique

(^) -iC^^i + • . • + s,ndy>n + <ym-i = o.

peuvent être obtenues par des opérations algébriques (^).

Rappelons brièvement la solution. D'après l'équation (5), il existe une relation au moins entre les variables y^.yt, ••'lym+i' Supposons qu'il y ait h relations distinctes et h seulement entre ces variables (o < A <^ m 4- ij ; au lieu de les supposer résolues

{') Leçons sur l'intégration des équations aujc dérivées partielles du premier ordre (Chap. IX, pp. 3i5-33o).

par rapport à h des variables, écrivons-les sous la forme la plus g-énérale

(6) '}i {ij„ ..., ij,„^,) = 0, . . . , '^hiyi, ..., !/„,+,) = o,

les h fonctions -i, étant distinctes, et l'une au moins renfermant la variable IJ„^+^. La relation (5) doit être une combinaison linéaire des li relations

(7) <^'|i = 0, . . ., d'ih = o,

puisqu'il résulte des hypothèses qu'il ne peut exister entre les différentielles diji aucune relation linéaire distincte de celles-là. On doit donc avoir une identité de la forme

s^dij^ + ... + z.Jij,,, + dy,,,^, = l,d<b, + ... + 'khd'lh,

Ài, ..., \h étant h coefficients indéterminés, ce qui entraîne les m + I relations nouvelles.

Ces m -f I équations sont distinctes, puisquetous les déterminants d'ordre h que l'on peut déduire du tableau des dérivées partielles des fonctions '}, ne peuvent être nuls à la fois. L'élimination des h paramètres 1/ entre ces m + i équations conduira donc à un système de m + I — A relations entre les variables i/i, zi,

Inversement, toute multiplicité M dans l'espace à -xm -f i dimensions telle que les coordonnées de l'un quelconque de ses points XUv ••■■> Um+i ; -^1' •••' -m) vérifient les m + i relations (6) et (9) est une multiplicité intégrale de l'équation m = o. On obtiendra donc toutes les intégrales de l'équation w = o en prenant tous les systèmes de m fonctions distinctes '|'i,'}25 •■■■, 'kh des variables «//, l'une au moins renfermant y.,^^^ [o <^h ^ m + i), et en adjoig-nant aux m -j- I équations (G) et (9) un système de q relations choisies

£nAPITRE II. INTÉGRATION D UNE ÉQUATION DE PFAFF. 65

arbitrairement entre les variables yi, Zi, pourvu qu'elles ne soient pas incompatibles avec les premières.

La multiplicité intégrale ainsi obtenue esta am +1 — {m + i -\-q) = m — q dimensions, puisque les équations (6) et (9) sont au nombre de m -j- 1. On obtiendra les multiplicités intégrales d'ordre maximum en supposant q = o. Ea résumé, les multiplicités intégrales ayant le nombre maximum de dimensions sont des multiplicités à m dimensions que fon obtient en établi ssani entre les nm + i variables yi, Sf,- un système de m + i relations de la forme (6) et (9), les /onctions 'li étant arbitraires .

Toute multiplicité intégrale M^j— y km — q dimensions est située sur une multiplicité intégrale M„j à m dimensions, et s'obtient en adjoisrnant aux équations qui définissent M„, q relations nouvelles choisies arbitrairement et distinctes des premières.

Remarque. — On peut écrire les équations de M^ en adjoignant aux relations (6) les équations

^!/ni~l ^!/m-\-i

qui donnent les variables r/ en fonction de /t — i paramètres r^ ; --., ^— et des variablesy/,qui dépendent elles-mêmes de w — A-j- i variables indépendantes.

Soient M^ une intégrale à h dimensîoas de l'équation (5) et (yi"> •--» !/^m~i, ri", . , r'//i) un point ordinaire de Ma. Les coordonnées d'un élément de Ma voisin de celui-là peuvent s'exprimer au moyen de h d'entre elles prises pour variables indépendantes. On peut toujours prendre pour ces h variables indépendantes a. des variables i/i et h — a des variables r/, toutes ces variables ayant des indices différents.

En efiFet, si ym-^i est une des variables indépendantes, l'une au moins des variables yi, y^, ..., y„ dépend de ym+i, et la relation

^Vl . .. -//:: . .. ^!/,.

^ym~i ^ym-i-% ^ym-^i

G. Leçons.

que l'on déduit de l'équation de Pfaff (5) prouve que toutes les dérivées — ^i — , ..., — •rm__ ne peuvent être nulles à la fois. Si par exemple '^ym-\-\ ^ym+i

Isi dérivée — --i^ — n'est pas nulle pour les coordonnées de l'clément con- '^ym f 1

sidéré, on peut prendre yi pour variable indépendante à la place

de ym+l, en conservant les autres variables indépendantes.

D'autre part, supposons que deux variables de même indice, //i et z^

par exemple, fassent partie des h variables indépendantes. De la rela-

tion (5) on déduit les expressions de— ^^ et -^ au moyen des

dérivées .de y^, ■■•, ym, ~i, ■■-, Zm par rapport aux mêmes variables, et la condition d'intégrabilité conduit à la relation

-y D(y/, r;) j , D (yg, Z'^ , , D(y,„,5,>t) ^

Z- D(.y„ r,) "^ D(y„ zy ' ' ' ^ D{y„ r.)

Il faudra donc que l'un au moins des indices 2, 3, ...,m ne figure pas parmi les indices des variables indépendantes, sans quoi tous les termes qui suivent le premier seraient nuls dans la relation précédente. Nous pouvons supposer que l'on ait choisi les notations de façon que les indices des variables indépendantes soient i, 2, ...,/> ; alors toutes les dérivées

^, M, M, ^, où z>/,, 3yi ^z^ ayi Dr^

ne pourront être nulles pour l'élément initial. Supposons par exemple que yP^'^ ne soit pas nul pour cet élément; on pourra alors prendre

yp->r\ pour variable indépendante à la place de y,. Les indices i et/>-f- i figureront chacun une fois dans les variables indépendantes, et les indices qui n'y figurent pas sont p + 2, ..., m. Si un des indices 2, 3, ...,/> figure encore deux fois dans les variables indépendantes, «n peut recommencer la mêm^e opération, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un système de h variables indépendantes où tous les indices sont différents.

Ce raisonnement prouve en même temps que le nombre h ne peut être supérieur à m.

On peut toujours supposer que les h variables indépendantes sont yi. '/2, . ., y«'4a+i» ..., zh. Soient

\ y/«+lI=I«/'+l (yi5 •••'Z/a ; -2'a+i' •••' -^'')' y^+2 = Uh^% ..., ym— Un (10) <

i zh-i-i = vh+i{yi, •">yu. '■> ^K+v •••' ^^^' -^''^^ ~ ^''+^' •••' ^"^ ~ """