CHAPITRE II. — INTÉGRATION D UNE ÉQUATION DE PFAFF
les expressions de yh-rli ■ --> y»» ^A-i-l, » -fm en fonction des variables indépendantes, u„ , Umi »,, , v^ désignant des fonctions
arbitraires qui prennent respectivement les valeurs yA-ft, . .., z,^^ pour les valeurs y,", .-.jyg^, -"« , j> ---j -a". Nous écrirons l'expression de ym+i comme il suit
(il) ym^i — iv{yx, ..., y„; s^^^, ..., sk) — y^^^^^^i^^ — ■■ . — yh^h
w étant une nouvelle fonction arbitraire qui doit satisfaire à une condition initiale évidente. En portant ces expressions de yk-i-i, ..., y», ym-i-\, TA-fi, ..., Zm dans Téquation de Pfaff (5), et en égalant à zéro les coefficients de dy^y . .., dy^, dz^ . , . ..ydzh^ on obtient les expression des autres coordonnées y^j, . , . . . . y., Zt, . . ., s^,
, Il — ^'^' ^ i,h>A ^"^^^ 4- 4- /. ^"»'
yh = + vh-i r ■ ■■ + i^u
^!/i ^yi ^ui
Les formules (lo), (ii), et (12) représentent la multiplicité intégrale Ma dans le voisinage de l'élément donné (').
En particulier si /i = m, il y a une seule fonction arbitraire w de rn arguments, et les formules qui représentent une intégrale à m dimensions sont les sui%-antes [Cf. Leçons, p. 819, formules (11)].
iym~i (i3)|
16. Résolution de l'équation générale. — Soit w une forme de Pfaff à n variables j:"i. Xh, ..., x^. L'équation
(i4) w = X^dxi +...-{- X^dx,^ = o
{•) CÀRTiLS. Annales de l'Ecole Normale Sapérieare, 3* série, t. XVI, p. 270.
= iviyi, ...
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sera immédiatement résolue, d'après le paragraphe précédent, si on a pu ramener cette équation à une forme canonique, où ne fig'urent que m -{- i différentielles, quand cette équation est de classe y = zm -\- i. Toute multiplicité intég-rale est définie, nous venons de le voir, par un système de m + i relations, dépendant de fonctions arbitraires, entfe les variables de la forme réduite. Il s'ensuit que toute intégrale de l'équation (i4) est elle-même définie par un système de m + i relations entre les variables Xi, auxquelles on peut ajouter un nombre quelconque de relations arbitraires nouvelles entre ces variables, pourvu qu'elles ne soient pas incompatibles avec les premières.
Les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont donc des
multiplicités an — (m + i) = n ^-^ — dimensions, si y est la
classe de l'équation a)=o;deplus, toute multiplicité intégrale d'ordre inférieur à cette limite est située sur une multiplicité intég'rale d'ordre maximum.
Il est facile d'avoir une limite inférieure du nombre n — '-^î — .
En effet si n est pair, n = 2p, y e-^^t au plus ég-al à 2p — i, -Lin —
est au plus égal à p, et par suite on an LJI — ^ ^; = — .
De môme si n = 2p -\- i, y est au plus égal à 2/> + i, et par suite n — -*— t — ^ p. Dans les deux cas, les multiplicités inté-
g-rales d'ordre maximum sont d'un ordre au moins ég'al à la partie entière de — (Cf. n" 6).
La méthode précédente de résolution du problème de Pfaff exig-e la réduction de l'équation w = o à une forme canonique.
Nous allons montrer que les deux problèmes sont équivalents, du moins si l'on demande une solution g-énérale, c'est-à-dire si l'on veut déterminer toutes les multiplicités intég-rales d'ordre maximum. Supposons en effet que l'on connaisse toutes les multiplicités intég-rales d'ordre n — (m -f i) d"une équation u = o à n variables de classe am + i. Prenons en particulier une famille d'intégrales dépendant de m -\- i constantes arbitraires, de
