CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'cNE ÉQUATION DE PFAFF

telle façon qu'il en passe une par chaque point de l'espace. Soient

('^) /i = Ci' Tî ^= ^2, . . .,/„jj.i = C^^

les équations qui définissent cette famille de multiplicités.

Imaginons que l'on fasse un chang'ement de variables de façon à prendreyi.y^. •••,f^^i oarmi les nouvelles variables. L'équation transformée fi = doit être vériûée quand on y fait f//"j = o. ..., df^j^i = o, quelles que soient les valeurs des autres différentielles. Elle est donc de la forme

i^- = F,f//; + ¥,df, + . . . + F„.^,rf/,„^, = o,

et par suite l'équation w = o a été ramenée à une forme canonique parce chansremeot de variables. On voit même qu'il suffit de, connaître une famille de multiplicités intégrales k n — (m -f i) dimensions pour pouvoir effectuer la réduction.

Remarque. — Les conclusions précédentes peuvent être en défaut pour certaines intégrales. Par exemple, l'équation

f/xj — x^JCidx.^ = o

de classe trois admet une intégrale à deux dimensions x^ = o. Si l'on prend pour variables canoniques x^, x^x^ et x^, les deux relations x^ = o, x^x^ = o, qui définissent une intésrrale, se réduisent à une seule. De même l'équation de classe 2W — i

yidxi + . . . + y,nd-r^ = o

admet l'intégrale à m dimensions i/i = o, ..., y^=:o,qui ne rentre pas dans le type général. On reviendra au Chapitre IV sur ces solutions singulières.

17. Intégrales lieux de caractéristiques. — Quand on a ramené une équation de Pfatl'à une forme canonique, il ne figure dans cette nouvelle équation que les y variables caractéristiques, et par suite toute intégrale d'une équation de Pfaff est définie par un certain nombre de relations entre les variables caractéristiques, auxquelles on peut adjoindre d'autres relations, en nombre quelconque, choisies à volonté, pourvu qu'elles soient compatibles avec

les premières. Nous allons développer les conséquences de cette remarque. Imag-inons que dans l'équation w = o on ait effectué un chang'ement de variables, en prenant pour variables nouvelles un système de y variables caractéristiques distinctes Mj, ..., k avec n — y variables Uy^^, ..., u^, choisies de façon à former avec les premières un système de'n fonctions indépendantes des variables primitives. Après la transformation, les variables u^, u^, ..., Uy fig-urent seules dans la nouvelle équation et, par suite, toute multiplicité intégrale est définie par un certain nombre de relations où fig-urent seulement u^, u^, ..., Uy,

\ (i6) 1Ii(m„ ..., My)=o, ...,n;t(M,, ..., ay) = o, /c<I^,

auxquelles on peut adjoindre un nombre quelconque de relations choisies arbitrairement, entre a^, «2, •••> m^-

Considérons une multiplicité intég-rale à p dimensions Mg définie par les formules

(18) Uy^^ = '|';4.i(^i,".,y, • • -, «„ = 'InC^i, •••, y,

où ^1, ^2, •••» iû désig-nent p variables auxiliaires qui ne fig-urent pas nécessairement dans toutes les fonctions v};/. Les conditions pour que la multiplicité ainsi définie soit une intég-rale de l'équation de Pfaff ne renferment que les fonctions d^i, ..., i}p ; si elles sont vérifiées, elles le seront encore quand on remplacera 'Iv-L-P ••••> 'î'mP^^' d'autres fonctionsquelconques, pouvant renfermer de nouvelles variables indépendantes. En particulier, la multiplicité M' définie par les équations

(iq") l r f I i

OÙ /fl, 1, . . ., C Yi û sont de nouveaux paramètres variables indépendants de t^, ..., Iq, est aussi une multiplicité intégrale. Or cette