CHAPITRE II. — IMÉGRATIO-^ D OE ÉQUATION DE PFAFF. il

multiplicité M' est le lieu des multiplicités caractéristiques de l'équatioa w = o,

issues des différents points de la multiplicité M^. Ou a donc le théorème suivant :

Le lieu des multiplicités caractéristiques de l'équation de P/aj^ fa) = o, qui passent par les différents points d'une multiplicité intégrale M de cette équation, est une nouvelle multiplicité intégrale M'.

Si la multiplicité M est à p dimensions, la multiplicité M' est au plus à p 4- w — Y dimensions, mais elle peut en avoir moins. Elle aura ce nombre maximum de dimensions si les y fonctions <|/j, ..., d, sont des fonctions distinctes des p paramètres /^, t^, .... <q ; les n fonctions «i, m,, ..., «^ définies par les formules (ïg) sont alors en effet des fonctions distinctes des n + p — y paramètres 'i» •••■> 'n 74-o- Supposons en second lieu que les y fonctions 4*4, ..., '}.. des p paramètres f^, .... t^ ne soient pas distinctes, de telle sorte que le point (u^, u^, ..., u^) décrive dans l'espace à y dimensions une multiplicité à moins de p dimensions. Nous pouvons alors choisir les paramètres // de façon que les fonctions 'Yj, ..., ô, dépendent seulement de p' -c^p paramètres t^, ..., Z^' et en soient des fonctions distinctes, les paramètres <o'+i' ""' '" ^^ fiarurant que dans les expressions Uy , j, ..., a„. La multiplicité M' représentée par les formules (ig'lest alors visiblement k n — y + p' dimensions seulement. On peut encore énoncer ce résultat comme il suit. Soient {u^, ..., u^*) les coordonnées dun point de Mp, t^y ...fdo'T t^s valeurs correspondantes des paramètres, t^, /», ...,tp'\ si l'on donne à ces paramètres les valeurs constantes t^, ..., (O" ^^^ autres paramètres /q' , j^, .•-, tp variant arbitrairement, le point («i, u^, ..., mJ décrit sur M^ une multiplicité à p — p' dimensions qui appartient aussi à la multiplicité caractéristique

«t = Bi% ...,«,, = K.

La multiplicité M^ et la multiplicité caractéri.stitjue qui passe par un point quelconque de Mq ont donc en commun un ' multiplicité d'ordre p — p'. Par conséquent lorsque la multiplicité intégrale Mp et la multiplicité caractéristique qui passe par un point quelconque de M. ont en commun une multiplicité cT ordre o — p', le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents points de Mp est une multiplicité intér/raleM' an — y + ^'dimensions.

Il résulte des propriétés précédentes que les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont composées de multiplicités caractéristiques. En effet si M^ est une intég-rale, sans être un lieu de caractéristiques, le lieu des caractéristiques qui passent par les différents points de Mp aura évidemment plus de p dimensions. Pour obtenir ces multiplicités intégrales d'ordre maximum n — -i-^i^ — , il suffira de prendre le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents points d'une multiplicité intég-rale

d'ordre ^ , n'avant aucune multiplicité commune avec la

multiplicité caractéristique qui passe par un quelconque de ses points. Ces intég-ralès sont représentées par les formules (19), où

l'on suppose que le nombre p a sa valeur maximum -^^ , les

y fonctions ^j;^, .,., '|„ étant distinctes.

Supposons par exemple que co soit une forme ordinaire à 2m variables ; on a alors y = 2/n — i. Les caractéristiques sont à une dimension, et les multiplicités intég-rales d'ordre maximum sont d'ordre m. Ces intég-rales sont engendrées par les caractéristiques issues de tous les points d'une multiplicité intégrale d'ordre m — i,. non composée de caractéristiques.

Remarque. — Les conclusions qui précédent ne s'appliquent pas aux intég-rales, dites sing-ulières, qui ne rentrent pas dans le type g-énéral { Voir Chap. IV).