CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DE PFAFF

gration de Cauchy pour une équiitlon aux dérivées partielles du premier ordre.

Inversement cette méthode s'en déduit très facilement comme cas particulier. En effet, l'intég^ration de l'équation aux dérivées partielles

(20) p, =f{jCi, J?2, ..., x„, z,p^, ..., p,)

revient à la recherche des multiplicités intégrales à n dimensions de l'équation de PfafF

(21) w =zfdx^ -f pïdxi + ... + Pndx,^ — dz = o.

Le covariant bilinéaire w' a pour expression

w' = o/f/oCj — dfhx^ -r opidXi — dp^^x^ + ... + tp^^dx^, — dp,ùx,^ ;

pour avoir les équations diflFérentielles du système caractéristique S4, il n'y a qua remplacer de et ^r par yVtej -f- ... + p^dx,^, f^x^ + ... -f- Pn^x,^ respectivement dans &>', et à égaler à zéro les cœfficients de hx^ ..., ôj?,,. ô/>2, ,.. 8^,.. Ou obtient ainsi un système de 2 A? — I équations différentielles

dx.* = ~ dxi, .... dx„ = — dx, ,

(^ '-:yp. ^"^Pn) '

L'équation w = o admet donc des caractéristiques à une dimension ; de tout élément de l'espace dont les coordonnées vérifient la relation (20) part une de ces caractéristiques et une seule en général. Le lieu des multiplicités caractéristiques issues de tous les points d'une intégrale M est encore une intégrale. En particulier, toute intégrale M^. est le lieu des caractéristiques issues de tous les ^ ^jVm points d'une intégrale M,.j. La méthode de Cauchy se trouve ainsi ^5-0; \F. rattachée à la proposition plus générale du n*^ 17, qui s'applique à ^*u.«iuc> toutes les équations de Pfaff admettant des multiplicités caractéris- ci/v^ (Xf^ tiques. -

Quand on applique à l'équation (21) la méthode de Pfaff sous sa forme primitive, il semble qu'elle exige non seulement l'intégration du système (22), mais aussi l'intégration de plusieurs autres systèmes d'équations différentielles d'ordre in — 2, 2/î — 3, .,., successivement. C'est là une infériorité apparente de la méthode de Pfaff, mais il suffit, comme l'a montré G. Darboux, (voir n^ 10) de diriger convenablement les calculs, pour retrouver les résultats de Cauchy. Soient X2, ..., X„, Z, P2, ..., P,^ les intégrales principales du système (22J, c'est-à-dire celles qui se réduisent respectivement à x-i, ..., x„, z, p^, . ..,/>^pour a?j = .x," ; prenons pour nouvelles variables x^ et ces intégrales principales. Dans les formules de transformation

( 532 = r 2 ( J3i , J3i ', X2 , . . . , P„) , ...,X^==F.^(^Xi, Xi , X2 , • . . , P„) , (28) I p2 ='P^{x^,x^\ X,,...,PJ, ...,/>„= *,,(j3i,a?iO,X2,...,PJ,

les seconds membres représentent précisément les solutions des équations différentielles (22) qui, pour x^^ = x^", prennent les valeurs Xj, ...,X^, Pg, ..., P/i, Z respectivement. Après le changement de variables (28), l'équation w = o se change en une équation où ne figurent que les variables caractéristi(|uesX2, ..., P„, Z, et leurs différentielles. On a donc une identité de la forme

to = K [U^dX^ + ... + VndXn + V,t/P, 4- ... + yndPn + UdZ],

les fonctions Uj, V/, H ne dépendant que des variables Xi, Pk, Z. On peut encore supposer (n^' 10) que le facteur K se réduit à l'unité pour x^^ =a'i*'. En supposant x^ = x^^ dans l'identité précédente, on en déduit que l'on a

et l'équation w = o est ramenée à une forme canonique (24) ■ P^dX^ + ... + PndXn — dZ = o,

après le premier changement de variables(23) qu'exige la méthode de Pfaff.

Observons en passant .que la forme w elle-même est de classe 2n si y contient la variable z, et de classe 2n — r siy ne dépend pas de £.