DF
^pk-
DF D/>i
on obtient
. un
i système d'équations différentielles
dxi
ds
— dpk
Pi/>i -r • - . -r PnPn
~ Xk + Zpk '
qui, joint
àL
a relat
ion F ;
= 0, est identii
que au système différentiel de
Cauchy.
Lorsque F ne renferme aucune des dérivées/)/, on a à rechercher toutes les multiplicités intégrales de l'équation de Pfaff
dz — PidXi — ... — pndx,, = o,
dont tous les éléments vérifient la relation F = o.De la relation rfF = 0, on peut tirer l'expression de Tune des différentielles dxi, dz au moyen des autres, et on est conduit à une équation de Pfaff de forme canonique.
19. Théorie de Lagrange. — La théorie de l'intégrale complète de Lagrange et la méthode de la variation des constantes se rattachent
aussi très aisément à la méthode de Pfaff.Soiten effet r ^*(a;„ a?„ ;
Oi, ...,att)une intégrale dépendant de n constantes arbitraires de l'équation du premier ordre
Pi =/wri, ... Xn, z;pî, ..., p„) ;
dans l'équatioD de Pfaff correspondante
bi =1 dz — fdxi — p^dxi — ... — p,,dx^ = o
faisons le chang-ement de variables défini par les formules
les nouvelles variables étant ,t'j, . . . .r,j, «i, ... a,i. En tenant compte de la condition
:^Xi \ D.x;2 :^Xu
cette équation prend la forme canonique
w = aai + . . . H aa,i rr o .
L'application de la méthode générale d'intégration d'une équation de Pfaff mise sous forme canonique conduit précisément à la méthode de la variation des constantes (Leçons n" 32).
Les caractéristiques sont définies par les n relations
.s = <i', pi— , [-bi~- = o,...,- +6„i-=o,
dxi aai ?a„ ^an—i ?««
et dépendent des 2« — i constantes arbitraires «i . . . a,i, bi, .. ., b,i—\-
Plus généralement, si l'on connaît une intégrale complète définie par une équation de forme quelconque
d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre F(.rj, .... .r„, z ; />i, . . ., p,^ = o, l'équation de Pfaff correspondante prend la forme
w := — - aOi + . . . H rtO,j = 0,
quand on prend un nouveau système de in variables (.Z!;, aii), en posant
V r= 0, Y pi — =0 (j = 1,2, ..., n),
Zxi ^z
(Cf. Leçons n" 38).
On verra plus loin (Chap. IV) comment la seconde méthode de Jacobi se rattache à la méthode de réduction du n*' 8 d'une forme de Pfaff.
20. Equations simultanées du premier ordre. — Considérons encore un système de r équations aux dérivées partielles du
