CHAPITRE II. — INTÉGRATION D U.\E ÉQUATION DE PFAFF. i i
premier ordre à une seule fonction inconnue,
f Pi =fAJ^i, ••-, -^1,2 ; pr-rU ..y Pn),
l Pr =fr{x^, ..., JC„,J ; pr^i, ..., pn);
intégrer ce système revient à trouver toutes les multiplicités intégrales à n dimensions de l'équation de PfaflFà 2n -r i — r variables
(26) ro=y\dXi + -•• + frdXr -\- pr~ldXr+i -\- ...
+ pndxn — ds:= o.
Le covariant bilinéaire a pour expression
w' = ^fidXi — 4/1 OJ?! + ...-!- ùfrdXr — dfr^Xr + ) 8/)r-!-lrfj"r-fl — dpr-ir\^Xr~i -{- ... + ^p„dXn — dpnOXn V,
en remplaçant encore dz et Sr par leurs expressions tirées des deux équations w (d) = o, w (â) = o, et en é«-alant à zéro les coefficients de 5xj, . . . àj?„, o^r-fi, . . ., ^pn-, on obtient les équations diflférentielles des multiplicités caractéristiques de l'équation (26) :
dxr-i-i 4 -'^^ dx. -i- ••• -i —— dxr = o.
>A ./^ ^ . Ifr
dXn 4- -^ f/j?, + ... 4- ^^^ rfjr = O,
dz^=f^dx^ + ... -^ frdXr + /)r-l</Xr-fl + .... + pndXn,
<//. = 5^ rfx, + ... + ^ d^, + /, < 1^ «fa, + ... + if fe j.
Les 271 — 2r + I premières équations de ce système sont toujours distinctes, et par suite la classe de l'équation w i= o est au moins ég^ale à an — 2r -\- i. Pour qu'elle soit égale à cette valeur minimum, il faut que les r dernières équations soient des conséquences des premières. Si donc on y remplace dxr+x, ..., dxn, dz, dpr-\-\, ..., dpn parleurs v*ileurs tirées des premières équations, les relations que l'on obtient doivent être vérifiées, quels que soient rfXj, ...,dxr. En faisant le calcul, on trouve les conditions
(28) [pi —fi, pk — fk] = o, («, /c = I, 2, ..., r),
le crochet [a, v\ ayant la sig-nification habituelle :
Il ( \
ces conditions (28) expriment précisément que le système (25) est un système en involution (Leçons, n^ 58). Si elles sont remplies, la classe y de l'équation de Pfaff (26) est ég-ale à 9.n — 2r -f i, et les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont définies par un système de n — a" + i relations entre les variables caractéristiques. Ces multiplicités intég-rales ont donc an — r-{- i — (n — r + ï)=n dimensions, tandis que les multiplicités caractéristiques ont r dimensions. Toute multiplicité intég-rale d'ordre n est le lieu des multiplicités caractéristiques qui passent par les différents points d'une intég-rale Mn—r de l'équation w = o. Ces dernières multiplicités se déterminent sans aucune intég-ration, car il suffit d'adjoindre les r équations (26) aux équations qui déterminent une multicitéintég-rale quelconque à n dimensions del'équationpif/o;, + ••• + pndxn — dz=o.
La méthode d'intég'ratlon précédente conduit exactement aux mêmes calculs que la méthode g'énérale de S. Lie (Leçons, Chap. IX), et l'interprétation est la même. En effet, en écrivant que /'(x^, ..., Xn,s; pr+i, '•-, Pu) est une intég-rale du système (27), on obtient les équations
On peut aussi démontrer, comme dans le cas d'une seule équation, qu'un chang-ement de variables permet de ramener l'équation to = o
