CHAPITRE II. — INTÉGRATION DUHE ÉQUATION DE PFAFF
à une l'orme canonique quand on a intésiTé le svstème (27). Soient en eflfet X^-i-i, ..., Xn, Z, Pr-i-i, •••, P« les in — ir -{- i intégrales de ce système qui se réduisent respectivement à aîr+i. •..,Xn,z; Pr-i-i,.-../>/i pourj^j^ijjj'', ..., a7r = J?r'^. Quand on prend pour nouvelles variables
X^, ..., Xr, Ar-|-l, •.., A^, Z, rr~it •••> "fti
le raisonnement employé dans le cas de /' = i s'applique sans modification, et la nouvelle expression de w, après le chanarement de variables, est
(30) .. = K [Pr+ldXr+l + ... + P„^„ — dZ] = o. L'équation o} = o est donc ramenée à une forme canonique
(31) dZ — Pr+ldXr^i — ... - P„f/X„ = o,
et on en déduirait aisément les résultats précédents.
Remarque. — Les propriétés de l'intégrale complète pourraient aussi se déduire très aisément de la méthode de Pfaff, comme pour une seule équation. Nous verrons au chapitre IV comment la seconde méthode de Jacobi se rattache à d'autres méthodes d'intégration de l'équation g'énérale de Pfaff.
21. Remarques sur la méthode générale d'intégration. — Soit «.) := o une équation de Pfaff de classe 2/h -j- i ; si l'on connaît une famille d'intégrales, définies par m relations distinctes, telle qu'il en passe une par chaque point de l'espace, on peut en déduire l'intéerrale générale de l'équation. Soient, en effet,
y"i = Cl, . . . ,f,n ^ Crt
les relations qui définissent la famille d'intégrales considérée ; si l'on prend un nouveau système de variables, telqueyi,/j, ...,/,„ fassent partie de ces nouvelles variables, l'équation ?a := o sera mise sons une forme canonique
W = F,rf/, -h . . . + Fmdfn, = 0.
et par suite on pourra obtenir l'intégrale générale (n" 15-16).
Ce résultat peut être £:énéralisé. Etant donnée une équation de Pfaff w = o à /i variables, supposons que l'on connaisse une famille d'intégrales an — /■ dimensions^ telle qu'il passe une de ces intégrales par
-80 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.
un point quelconque de l'espace. Ces intégrales sont définies par un système de /■ relations distinctes
.A = Cj , . . ., fr =z Cr,
et l'on peut encore, par un changement de variables, ramener l'équation proposée à la l'orme
w n: Xiftei + X^dx.^ + . . . -|- Xrdxr = o ;
les multiplicités intégrales connues Mn~r sont alors représentées par les r équations
Xi = Cl, Xi =€2, .. .,Xr = Cr.
Nous supposerons d'abord que les rapports
X2 X3 Xr
Xj Xj Xj
forment avec Xi, x^, ... .7r un système de n fonctions distinctes, ce qui
exige que 2r — i soit au moins égal à n, et par suite n — r ^ 'J—Zl . S'il
en est ainsi, nous pouvons évidemment prendre n — r de ces rapports
pour les variables Xr+i, . . ., Xn, les autres rapports pouvant être des
fonctions quelconques de a?], ...,Xr, ...,Xn.
Sur toute multiplicité intégrale Mh d'ordre h de l'équation w = o,
./'i, Xt, . . ., Xr sont des fonctions de h variables indépendantes
■ï'i = yi («1 j «'2. . . . , Uh), X2^= f^, . . ., Xr ^^ fr;
en remplaçant Xi,X2,.. . .,Xr par 'ft, . . ., ©r dans l'équation de PfafF, et en égalant à zéro les coefficients de dui, du2, . . ., duh, on obtient un système de h équations avec n — r inconnues Xr-\-\, . . ., Xn. Ces équations sont compatibles, quelles que soient les fonctions yj, ^2» .••, fr, pourvu que h soit inférieur ou au plus égal k n — r. Si h = « — r, Xr-\-\, . . ., Xn seront déterminées dès que l'on aura choisi les fonctions ?!» fi, ■•-, fr. Si A <; « — /', les variables Xr^\, ...,xh devront vérifier A équations seulement, auxquelles on pourra adjoindre n — r — h relations choisies arbitrairement. En résumé, dans l'hypothèse considérée, on pourra déterminer, sans aucune intégration, toutes les multiplicités intégrales de l'équation de Pfaff, d'ordre inférieur ou au plus égal à n — r.
Il n'en est plus de même lorsque les rapports ^ ,..., —^ forment
Xj Xj
avec Xi, X2, .., Xr un système de r -\- s variables indépendantes (/' -j- s <; n). On peut supposer alors que ces rapports dépendent seulement des variables Xi, . ., Xr, Xr+i, . ., Xr-^s, et écrire l'équation
w =: dxi -f- f2dX2 + . • . + frdXr = O,
