CHAPITRE II. INTÉGRATION DUNE ÉùLATION DE PFAFP

S des coefficients s/ étant égaux aux variables a?r+i, .... JCr-~s. L'équation w =z o étant mise sous forme canonique, il y figure seulement y variables canoniques yi,y;, .... y,, qui peuvent s'exprimer au moyen de Xi, . . . , JCr+s,

ijl — Pi (X,, ..., Xr~s), ...ij— P (Oîi, . . . , Xr+s), '/ ^ /• + S, et les relations

Pi(a:,, ..., xr-Ys) — Cl, ..., P (a^i, -.., J-r+s) = C

représentent des multiplicités caractéristiques à /i — 7 dimensions de l'équation &> r= o.

"Soit M/i— r l'intégrale k n — r dimensions représentée par les relations

J?i = J?jO„ . . ., J-r = Xr^,

et M/i j — ila multiplicité à n — r — s dimensions située sur la précédente, dont on obtient les équations en adjoignant aux précédentes les * équations

■aîr+l = JîV-H, ..., Xr~s =■ XOr~s. .

Cette multiplicité Mn—r-s est située sur la multiplicité caractéristique définie parles relations

P/(j?„ Xi, ..., Xr^s) = Pi{Xi\ ..., J?»r+*), (t = I, 2, ..., y),

et la multiplicité intégrale M^—r considérée a donc en commun une multiplicité M/j— r-s avec la multiplicité caractéristique issue d'un quelconque de ses points. C'est donc un lieu de multiplicités à n — r — s dimensions dont chacune fait partie d'une multiplicité caractéristique. Les multiplicités intégrales Mn-r de cette espèce ne sont donc pas les plus générales parmi les multiplicités intégrales à n — r dimensions, et le résultat obtenu dans la première hypothèse peut s'énoncer comme il suit

Soif (^ = 0 une équation de Pfaff à n variables, dont on connaît une famille d'intégrales Mn-r à n — r dimensions . Si Mn-r n'a aucune multiplicité commune avec la multiplicité caractéristique issue de Fun quelconque de ses points, oa peut obtenir sans aucune intégration toutes les intégrales de Féquatioh w = o ayant au plus n — r dimensions.

Cette proposition généralise une propriété évidente de l'équation

ff' — fdXi — /JorfoCo — ... — pndXn = O,

à 2/1 variables (a?i, ... x^; =,pi, ...,/>„) ; on connaît a priori une famille d'intégrales à n — i dimensions, définie par les relations

Xi =r Cl, Xt =: C2, ..., Xn = Cn, S =: Cn+l, G. Leçons. 6

qui n'est pas composée de caractéristiques ; on peut donc obtenir sans intégration toutes les intégrales ayant au plus « — i dimensions. On peut faire la même remarque pour l'équation (26) à laquelle conduit le problème de l'intégration d'un système d'équation aux dérivées partielles du premier ordre.

De même, si l'on connaît une famille de courbes intégrales, l'équation de Pfaff peut être ramenée'à ne contenir que n — i différentielles :

w = Xidxi 4" •• . + Xn-id.Xn-i = o ;

si les rapports —^dépendent d'une autre variable x^, on pourra obtenir

sans aucune intégration toutes les autres intégrales à une dimension de

l'équation de Pfaff. Il n'en est plus de même si les rapports — ^ ne dépen-

Xa:

dent que des n — i variables Xi, x^, .•-, ocn—i', dans ce cas, les courbes intégrales «i =: Ci, . . . , Xn—i = Cn-i sont situées sur des multiplicités caractéristiques.

Lorsque la somme r -{- s est inférieure à n, la conclusion précédente ne s'applique plus, mais l'intégration de l'équation &> = o est ramenée dans ce cas à l'intégration d'une équation à un nombre de variables inférieur à n. Il y a donc une simplification du problème. Si le nombre 5 a sa valeur maximum r — i, l'équation est ramenée à une forme canonique, et l'intégration est immédiate. Si s est inférieur à r — i, on peut encore, en opérant comme tout à l'heure, trouver toutes les intégrales à s dimensions au plus dans l'espace {xi, x^, ..., Xr^s), et il leur correspond des intégrales k n — /• dimensions au plus dans l'espace {xi, X2, ..., Xn)- La méthode fournit donc de nouvelles intégrales, sauf dans le cas où s est nul. L'équation w = 0 ne renferme alors que les r variables Xi, x^, ••-, Xr-