CHAPITRE I. FORMES CAxNONIQUES

on tire, en efiFet, en différentiant par rapport à y/,

D'autre part, on tire de l'expression (9) de Y/

ce que l'on peut écrire, en tenant compte de la relation précédente.

J ■y 'Y' ^Xft Dyft TSvh V V ^^^ '^?^ "^y*

n ^mà Z^ ^Xh "^yi ^yn Zmi jimâ 3j?/, ?y,, ^yi '

OU encore, en permutant les indices h et A' dans la seconde sommation,

£Y/ __ Y» Djft \ Y^ / ?X/{ ?Xa \ DsA /

et l'équation

devient

en posant, pour abréarer,

Le système (10) est donc remplacé par le système équivalent

n ' \ n ' Il

OÙ ne fig"urent que les fonctions inconnues 91,92' •••' ?«' ®^ leurs dérivées partielles du premier ordre.

Ces équations seront certainement vérifiées, si \t. n'est pas nul, par les intég-rales du système

[xXfe =0,

cela est évident pour toutes les équations (11), sauf pour la première. Il en est de même de la première, car, si on ajoute les n équations (12) après les avoir multipliées respectivement par

^ ^ respectivement, il vient, en tenant compte de la rela-

tion évidente «m + ahk = o,

L'équation Y„ = o est donc une conséquence des équations (12) si [JL n'est pas nul.

Le système (12) ne i^enferme que les fonctions inconnues cp« et leurs dérivées partielles par rapport à la seule variable i/n- On peut donc le considérer comme un système d'équations différentielles ordinaires, et les fonctions 9/ ne peuvent dépendre des variables y^, i/^, ..., ?/„i que par l'intermédiaire des constantes arbitraires dont dépend l'intég-rale générale du système.

Les écfuations (12) sont linéaires en ^* , ..., -?^^ , et le détermi-

nant formé par les coefficients est un déterminant symétrique g-auche. Cela étant, plusieurs cas sont à distinguer : lO Si le déterminant

n'est pas nul, ce qui ne peut avoir lieu que si n est pair, on peut