Définitions et notations. — La théorie des formes

linéaires de différentielles peut être généralisée de plusieurs façons. Ou peut tout d'abord, en restant au point de vue purement nlrfébrique, considérer des formes d'un degré supérieur par rapport aux différentielles, par exemple des formes quadratiques

2^XiK^dxidxk, (/, Â:= I, 2, ..., n),

comme celles qui interviennent dans l'étude de la déformation des surfaces, ou du problème analogue pour les variétés d'ordre quelconque dans un espace à n dimensions. Ces formes sont de véritables formes algébriques par rapport au.t différentielles ; quand on effectue un changement de variables

(i) ^i = ?iiyi, yt^ ■'-, yn) (/ = i, 2, ..., n),

^u yn '■•■> yn étant les nouvelles variables, on doit remplacer dans la forme quadratique chaque facteur dxi par '

-^dy^+ ... + -^ dyn.

et appliquer ensuite les règles ordinaires de la multiplication algébrique à chacun des produits dœidxk-

Mais on peut se placer à un autre point de vue. Si « est une

(') Auteurs à consulter :

H. PoiscARÉ. Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (tome III) ; Sur les résidus des intégrales doubles 'Acta Mathematica, tome IX) ; Ânalysis silus (Journal de l'Ecole Polytechnique, i8gô/.

E. Ca^rtan. Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff (Annales de l'Ecole Normale, 3' série, t. XVI, i8gg).

E. GouRSAT. Sur certains systèmes d'équations aux différentielles totales et sur une généralisation du problème de Pfaff (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VII, igi5j.

BaRALi-FoRTi. Introduction à la géométrie différentielle, suivant la méthode deGrassmann (Gauthier-Villars, i8g8).

o4 LEÇONS SUR LE PROBLEME DE PFAFF.

forme de Pf'afl', 1=1 w représente une intégrale curvilig"ne étendue à une courbe G de l'espace à n dimensions. Si, au lieu d'une intég-rale curvilig^ne, on considère des intégrales étendues à des multiplicités à un nombre quelconque p de dimensions de l'espace à n dimensions, on les représente par des symboles où fig-urent sous le signe d'intég-ration des sommes d'expressions telles que

Y (a:*!, x^, . . . , .T,J dx^dx^ . . . dx^, (p ^ n)

et le produit dx^dx^, ... dx^^ n'est plus un produit algébrique au sens propre du mot, mais un produit symbolique pour lequel les règ'les du calcul sont toutes difierentes des règ-les ordinaires du calcul alg-ébrique. Ces règ-les, que nous allons rappeler, se déduisent naturellement de la sig-nification attribuée à ces produits symboliques.

Considérons d'abord, dans l'espace à trois dimensions, une intég-rale de surlace 1 = j j A{x,i/,s) dxdy étendue à un côté

déterminé d'une portion de surface X, telle que les coordonnées d'un de ses points s'expriment en fonction de deux paramètres (a, v). Soit R la rég-ion du plan (m, v) qui correspond point par point à la portion de surfage I ; Tintég-rale de surface 1 est égale à l'intégrale double ordinaire

I = r r K{x,y, 2)^^^dudv,

étendue à la rég-ion R. Il résulte immédiatement de cette nouvelle expression de l'intég-rale qu'elle chang-e de sig-ne quand on per-

mute X et u, puisque ^, ^' + ^ — - = o. On a donc : ^^ ^ D ?/, y) D(«, u)

j I Adxdy + j j Adydx

les deux intég-rales étant étendues au môme côté de S ; ce que l'on peut écrire sous forme abrég-ée

(2) dxdy = — dydx.